WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

7. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1/2+1/2+1+1=4 P) Sei R ein kommutativer Ring. Zeigen Sie:

(a) Für alle a, b, c ∈ R gilt:

(i) a · (b − c) = a · b − a · c,

(ii) a · (−b) = (−a) · b = −a · b,

(iii) a · 0 = 0.

(b) Der Polynomring R[X] ist nullteilerfrei genau dann, wenn R nullteilerfrei ist.

(c) Sei R ein Integritätsbereich. Dann gilt

(R[X])^{×} = R^{×},

d.h. die Einheiten von R[X] sind genau die konstanten Polynome, welche als Elemente von R Einheiten sind.

(d) Mit I_{1}, I_{2} ⊲ R sind auch die Teilmengen

I_{1} ∩ I_{2}, I_{1} + I_{2} := { a + b | a ∈ I_{1}, b ∈ I_{2} }

und

I_{1} · I_{2} := { ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} | a_{i} ∈ I_{1}, b_{i} ∈ I_{2} }

Ideale von R.

(e) Sei I ⊲ R ein Ideal. Wenn R/I nullteilerfrei ist, dann ist I ein Primideal. Und wenn R/I ein Körper ist, so ist I ein maximales Ideal.

Aufgabe 2: (1+1+1+1=4 P) Es sei φ : ℤ[X] → ℝ der Einsetzungshomomorphismus mit φ(X) = \sqrt{3} und

ℤ[\sqrt{3}] = \{ x + y\sqrt{3} | x, y ∈ ℤ \}

das Bild von φ. Sei I := Kern(φ) ⊲ ℤ[X] der Kern von φ.

(a) Zeigen Sie, dass I das von dem Polynom X^{2} − 3 erzeugte Hauptideal ist,

I = (X^{2} − 3).

(Hinweis: benutzen Sie Polynomdivision mit Rest.)

(b) Zeigen Sie, dass I ein Primideal, aber kein maximales Ideal ist.

(c) Sei J := I + (11) ⊲ ℤ[X]. Konstruieren Sie einen Isomorphismus

ℤ[X]/J ⟶^{∼} 𝔽_{11} := ℤ/ℤ · 11.

Schliessen Sie, dass J ein maximales Ideal ist. (Hinweis: finden Sie ein a ∈ ℤ mit a^{2} ≡ 3 (mod 11).)

(d) Finden Sie ein Ideal N ⊲ ℤ[\sqrt{3}] für das ℤ[\sqrt{3}]/N ≅ 𝔽_{11}. Ist N Prim- bzw. maximales Ideal?

Aufgabe 3: (1+1+2=4 P) Sei R := ℤ[i] ⊂ ℂ der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen. Sei Q(R) der Quotientenkörper von R.

(a) Nach Satz 1.4 der Vorlesung setzt sich die natürliche Inklusion R ↪ ℂ zu einer Inklusion Q(R) ↪ ℂ fort. Zeigen Sie: das Bild von Q(R) in ℂ ist

ℚ[i] = { x + y · i | x, y ∈ ℚ }.

(Insbesondere ist ℚ[i] ein Körper, den man mit dem Quotientenkörper Q(R) identifizieren kann.)

(b) Finden Sie eine ganze Zahl a mit a^{2} ≡ −1 (mod 41) und schreiben Sie

das Ideal

I := (41, a − i) ⊲ ℤ[i]

als Hauptideal. Finden Sie x, y ∈ ℤ mit x^{2} + y^{2} = 41. Ist (41) ein Primideal? Ist I ein maximales Ideal?

(c) Zeigen Sie, dass das Ideal (3) ⊲ ℤ[i] ein maximales Ideal (und damit auch ein Primideal) ist. (Hinweis: der euklidische Algorithmus zeigt, dass ein Ideal J ⊲ ℤ[i] mit (3) ⊂ J, (3) ≠ J, ein Element a = x + y · i enthält mit |a| = 1.)

Abgabe: am Donnerstag, den 15.12. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).