WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

8. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1+1/2+1/2+1=4 P) Sei R ein faktorieller Ring. Wir bezeichnen mit P ⊂ R ein Vertretersystem der Assoziiertenklassen aller Primelemente (d.h. für jedes Primelement p ∈ R existiert ein eindeutiges Element p′ ∈ P mit p ∼ p′). Für Elemente a, b ∈ R − {0} setzen wir

ggT(a, b) := ∏_{p∈P} p^{min{ord_{p}(a),ord_{p}(b)}},
kgV(a, b) := ∏_{p∈P} p^{max{ord_{p}(a),ord_{p}(b)}}.

Seien a, b, c ∈ R − {0}. Zeigen Sie:

(a) Die Assoziiertenklassen von ggT(a, b) und kgV(a, b) hängen nicht von der Wahl des Vertretersystems P ab.

(b) a|b ⟺ ord_{p}(a) ≤ ord_{p}(b) ∀ p ∈ P,

(c) c|a und c|b ⟺ c|ggT(a, b),

(d) a|c und b|c ⟺ kgV(a, b)|c.

(e) Bestimmen Sie den ggT der Polynome

f = 10X − 15, g = 15X − 6

in dem Ring ℤ[X] (bis auf Assoziiertheit).

Aufgabe 2: (1/2+1/2+1+1+1=4 P) Welches der folgenden Polynome ist irreduzibel in dem Ring ℚ[X, Y], und welches ist irreduzible in ℂ[X, Y]?

(a) X^{5} − 3,

(b) Y^{4} − 4,

(c) X^{2} + XY + Y^{2},

(d) X^{2} + Y^{2} − 1,

(e) X^{4} − 2X^{2}Y^{2} + 1.

Aufgabe 3: (1/2+1/2+1+1+1=4 P) Sei R ein Ring und I ⊲R ein Ideal, I ≠ R. Wir bezeichnen mit R[X] · I das von den Elementen aus I erzeugte Ideal des Polynomringes R[X].

(a) Zeigen Sie: ein Polynom f = ∑ a_{i}X^{i} liegt genau dann in R[X] · I, wenn alle Koeffizienten a_{i} in I liegen.

(b) Konstruieren Sie einen Ringhomomorphismus

R[X]/R[X] · I ⟶ (R/I)[X],

und zeigen Sie, dass dieser Homomorphismus ein Isomorphismus ist.

(c) Zeigen Sie: I ist genau dann ein Primideal von R, wenn R[X] · I ein Primideal von R[X] ist. (Hinweis: benutzen Sie die Aussage von Aufgabe 1(b) vom 7. Übungsblatt.)

(d) Nun sei R ein faktorieller Ring und f, g ∈ R[X]. Folgern Sie aus (b): wenn f und g primitiv sind, dann ist auch fg primitiv. (Bem.: diese Aussage ist Teil des Lemmas von Gauß.)

(e) Zeigen Sie: R[X] · I ist niemals ein maximales Ideal.

Abgabe: am Donnerstag, den 22.12. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).