WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers

Algebra I

9. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1/2+1/2+1+1= 4 P) Sei R = ℤ[i] der Ring der ganzen Gauß’schen Zahlen. Zeigen Sie (unter Verwendung von Satz II.2.4 der Vorlesung):

(a) Ist a = x + yi ein Primelement von R, so gibt es eine Primzahl p mit p|x^{2} + y^{2} = |a|^{2} und a|p.

(b) Eine Primzahl p ist genau dann Summe von zwei Quadraten, d.h. von der Form p = x^{2} + y^{2} mit x, y ∈ ℤ, wenn p ≢ 3 (mod 4). (Für p ≠ 2 ist das genau die Aussage von Satz II.2.4.) In diesem Fall ist

p = (x + y i)(x − y i)

die Zerlegung von p in Primfaktoren in dem Ring R.

(c) Eine Primzahl p ist genau dann ein Primelement in R, wenn p ≡ 3 (mod 4) gilt.

(d) Jedes Primelement von R ist assoziiert zu einem der Primelement in (a) oder (b). Genauer: die Menge

P := { p | p ≡ 3 (mod 4)} ∪ { 1 + i }

∪ { x + yi, x − yi | x > |y| > 0, x^{2} + y^{2} ist Primzahl }

ist ein Vertretersystem aller Primelemente von R.

(e) Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung von a = 1258 und von b = 5 + 7i in R.

Aufgabe 2: (1,5+1+1,5 = 4 P)

(a) Bestimmen Sie alle irreduziblen Polynome über 𝔽_{3} vom Grad ≤ 3.

(b) Zeigen Sie, dass das Polynom

f := X^{4} − X^{2} + 2X + 3

irreduzibel in ℚ[X] ist. (Hinweis: zeigen Sie, dass f keine rationale Nullstelle, aber eine Nullstelle in 𝔽_{3} hat. Betrachten sie nun die Zerlegung von f modulo 3.)

(c) Sei

g := X^{3} − X + 1 ∈ 𝔽_{3}[X]

und K := 𝔽_{3}[X]/(g) der zugeordnete Restklassenring. Zeigen Sie, dass K ein Körper ist. Zeigen Sie ausserdem, dass das Polynom

h := Y^{3} − Y + 1 ∈ K[Y]

in Linearfaktoren zerfällt.

Aufgabe 3: (1+1+1+1=4 P) Welche der folgenden Polynome sind irreduzibel (in dem angegebenen Ring)?

(a) X^{4} + 6X + 10 (in ℚ[X]),

(b) X^{3} + 1 (in 𝔽_{5}[X]),

(c) X^{3} + X + 1 (in 𝔽_{2}[X]),

(d) X^{3} − XY − Y (in ℂ[X, Y]).

Abgabe: am Donnerstag, den 12.1. (in der Vorlesung, oder bei Herrn Martin).