WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers Andreas Martin

Algebra I

0. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1+1=3 P) Sei t ∈ ℝ eine relle Zahl und A die Matrix

A = (\begin{matrix}cos t & − sin t \\ sin t & cos t \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

(b) Diagonalisieren Sie A, d.h. bestimmen Sie eine invertierbare Matrix B so dass BAB^{−1} eine Diagonal-Matrix ist. Kann man B mit rellen Einträgen wählen?

(c) Berechnen Sie A^{n} für alle ganzen Zahlen n ∈ ℤ. Für welche Werte von t gibt es ein n ∈ ℤ, n ≠ 0, so dass A^{n} die Identitätsmatrix ist?

Lösung:

(a) Das charakteristische Polynom von A berechnet sich zu

χ_{A}(X) = det (\begin{matrix}X − cos t & sin t \\ − sin t & X − cos t \end{matrix})
= (X − cos t)^{2} + (sin t)^{2} = X^{2} − 2X cos t + 1 .

Die Eigenwerte von A, d.h. die Nullstellen von χ_{A}(X) ergeben sich zu

\frac{2 cos t ± \sqrt{(2 cos t)^{2} − 4}}{2} = cos t ± i\sqrt{1 − (cos t)^{2}} = cos t ± i sin t = e^{±it} .

(b) Die Eigenvektoren zum Eigenwert e^{±it} sind die Vektoren im Kern der Matrix

e^{±it}I_{2} − A = (\begin{matrix}e^{±it} − cos t & sin t \\ − sin t & e^{±it} − cos t \end{matrix}) = (\begin{matrix}±i sin t & sin t \\ − sin t & ±i sin t \end{matrix})
= sin t (\begin{matrix}±i & 1 \\ −1 & ±i \end{matrix}) ⇝ sin t (\begin{matrix}1 & ∓i \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Also ist ( \begin{matrix}i \\ 1 \end{matrix} ) ein Eigenvektor zum Eigenwert e^{it}, und ( \begin{matrix}−i \\ 1 \end{matrix} ) ist ein Eigenvektor zum Eigenwert

e^{−it}. Mit

B := ( \begin{matrix}i & −i \\ 1 & 1 \end{matrix} )^{−1}

ergibt sich daher

BAB^{−1} = (\begin{matrix}e^{it} & 0 \\ 0 & e^{−it} \end{matrix}) .

Ist t ∉ πℤ, so läßt sich B nicht mit reellen Einträgen wählen, da das charakteristische Polynom von A nicht über ℝ zerfällt.

(c) Es folgt

A^{n} = B^{−1} (BAB^{−1})^{n} B
= ( \begin{matrix}i & −i \\ 1 & 1 \end{matrix} ) (\begin{matrix}e^{it} & 0 \\ 0 & e^{−it} \end{matrix})^{n} \frac{1}{2} ( \begin{matrix}−i & 1 \\ i & 1 \end{matrix} )
= ( \begin{matrix}i & −i \\ 1 & 1 \end{matrix} ) (\begin{matrix}e^{int} & 0 \\ 0 & e^{−int} \end{matrix})^{n} \frac{1}{2} ( \begin{matrix}−i & 1 \\ i & 1 \end{matrix} )
= \frac{1}{2} ( \begin{matrix}i & −i \\ 1 & 1 \end{matrix} ) (\begin{matrix}−ie^{int} & e^{int} \\ ie^{−int} & e^{−int} \end{matrix})
= \frac{1}{2} (\begin{matrix}e^{int} + e^{−int} & −\frac{e^{int}−e^{−int}}{i} \\ \frac{e^{int}−e^{−int}}{i} & e^{int} + e^{−int} \end{matrix})
= ( \begin{matrix}cos(nt) & − sin(nt) \\ sin(nt) & cos(nt) \end{matrix} ) .

Bemerkung: Diese Formel für A^{n} hätte man auch direkt per Induktion beweisen können. Es folgt also, daß A^{n} = I_{2} genau dann, wenn nt ∈ 2πℤ, d.h. wenn es ein k ∈ ℤ gibt so, daß nt = 2πk. Ein solches n ∈ ℤ, n ≠ 0, gibt es daher genau dann, wenn \frac{t}{2π} ∈ ℚ ist, d.h. wenn t rationales Vielfaches von π ist.

Aufgabe 2: (1/2+1/2+1+1=3 P) Sei wieder t ∈ ℝ und

A = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & t \end{matrix}) .

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

(b) Für welche Werte von t ist A diagonalisierbar?

(c) Sei V = ℝ^{2} der 2-dimensionale reelle Standard-Vektorraum und φ : V → V die von der Matrix A induzierte lineare Abbildung. Finden Sie einen eindimensionalen Unterraum W ⊂ V, unabhängig von t, sodass φ(W) ⊂ W. Bestimmen Sie die von φ induzierte lineare Abbildung

V/W → V/W, v + W ↦ φ(v) + W.

(Bem.: da V/W eindimensional ist, ist diese Abbildung durch ein Skalar gegeben.)

(d) Für welche Werte von t gibt es ein n ∈ ℤ, n ≠ 0, so dass A^{n} die Identitätsmatrix ist? Lösung:

(a) Das charakteristische Polynom von A berechnet sich zu

\begin{aligned}χ_{A}(X) & = & det (\begin{matrix}X − 1 & 1 \\ 0 & X − t \end{matrix}) \\ & = & (X − 1)(X − t) . \end{aligned}

Also sind 1 und t die Eigenwerte von A.

(b) Im Falle t ≠ 1 ist A diagonalisierbar, da A zwei verschiedene Eigenwerte besitzt. Im Falle t = 1 ist A jedoch nicht diagonalisierbar, da der Eigenraum zum Eigenwert 1 die Dimension 1 hat, und folglich die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 1 kleiner ist als seine algebraische Vielfachheit.

(c) Der Eigenraum zum Eigenwert 1 ist gegeben durch

W := Eig_{A}(1) = ⟨\binom{1}{0}⟩ .

Also gilt φ(W) = W. Folglich ist die von φ induzierte Abbildung

\overline{φ} : V/W → V/W, v + W ↦ φ(v) + W

wohldefiniert und linear. Es gilt dim(V/W) = 1, und b := \binom{0}{1} + W bildet eine Basis von V/W. Nun gilt

\overline{φ}(b) = φ(b) + W = \binom{−1}{t} + W = \binom{0}{t} + W = tb .

Es folgt

\overline{φ}(\overline{v}) = t\overline{v}, ∀\overline{v} ∈ V/W .

(d) Im Falle t ≠ 1 hat A die Eigenwerte 1 und t, und A ist diagonalisierbar. Also gibt es eine invertierbare Matrix S ∈ ℝ^{2×2} derart, daß

S^{−1}AS = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & t \end{matrix}) .

Es folgt

A^{n} = S (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & t^{n} \end{matrix}) S^{−1} = I_{2} ⟺ t^{n} = 1 .

Das ist im Falle t ≠ 1 genau dann erfüllt, wenn t = −1 und n ∈ 2ℤ. Im Falle t = 1 zeigt man durch Induktion, daß

A^{n} = (\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \end{matrix})^{n} = (\begin{matrix}1 & −n \\ 0 & 1 \end{matrix})

für alle n ∈ ℤ. Also gibt es genau dann ein n ∈ ℤ \ {0} mit A^{n} = I_{2}, wenn t = −1 ist.

Aufgabe 3: (2+2+2=6 P) Es seien e_{1}, …, e_{8} ∈ ℝ^{3} die acht Ecken eines Würfels im euklidischen Raum:

\begin{aligned}e_{1} & = & (−1, −1, −1) \\ e_{2} & = & (1, −1, −1) \\ e_{3} & = & (−1, −1, 1) \\ e_{4} & = & (1, −1, 1) \end{aligned}  \begin{aligned}e_{5} & = & (−1, 1, −1) \\ e_{6} & = & (1, 1, −1) \\ e_{7} & = & (−1, 1, 1) \\ e_{8} & = & (1, 1, 1) \end{aligned}

Sei φ_{1} : ℝ^{3} → ℝ^{3} die Rotation um die y-Achse, die den Würfel in sich überführt und auf den Ecken e_{1}, …, e_{8} die Permutation

σ_{1} = (1 2 4 3) (5 6 8 7)

induziert. Weiterhin sei L ⊂ ℝ^{3} die Diagonalachse des Würfels, die die Ecken e_{1}, e_{8} enthält und φ_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{3} die Rotation um L, die die folgende Permutation induziert:

σ_{2} = (2 3 5) (4 7 6).

(a) Stellen Sie φ_{1}, φ_{2} durch Matrizen A_{1}, A_{2} dar.

(b) Berechnen Sie φ_{1} ∘ φ_{2} und φ_{2} ∘ φ_{1} und die dazugehörenden Permutationen.

(c) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A_{1}, A_{2}, A_{1}A_{2} und A_{2}A_{1} (Hinweis: verwende ein geometrisches Argument, keine Rechnung).

Lösung:

[figure: z; e_{3}; e_{7}; e_{4}; e_{8}; 0; y; x; e_{1}; e_{5}; e_{2}; e_{6}]

(a) Gesucht sind Matrizen A_{1}, A_{2} ∈ ℝ^{3×3} so, daß

φ_{i}(v) = A_{i} · v, ∀v ∈ ℝ^{3}

gilt für i = 1, 2. Die Abbildung φ_{1} beschreibt in der xz-Ebene eine Drehung um π/2, was durch die Matrix ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ausgedrückt werden kann. Die y-Achse bleibt fixiert. Also ist

A_{1} = ( \begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Die Abbildung φ_{2} permutiert die Koordinatenachsen, und zwar geht die x-Achse auf die z-Achse, die z-Achse auf die y-Achse, und die y-Achse auf die x-Achse. Daher gilt

A_{2} = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}) .

(b) Die Matrizendarstellungen von φ_{1} ∘ φ_{2} und φ_{2} ∘ φ_{1} sind gegeben durch

\begin{aligned}A_{1}A_{2} & = & ( \begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) \\ A_{2}A_{1} & = & ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) . \end{aligned}

Die zugehörigen Eckenpermutationen sind gegeben durch

\begin{aligned}σ_{1} ∘ σ_{2} & = & (1 2)(3 6)(4 5)(7 8) \\ σ_{2} ∘ σ_{1} & = & (1 3)(2 7)(4 5)(6 8) . \end{aligned}

Geometrisch ist φ_{1} ∘ φ_{2} eine Drehung um den Winkel π um die Achse durch die Punkte (0, 1, 1)^{t} und (0, −1, −1)^{t}, d.h. um die Achse durch die Seitenmittelpunkte von \overline{e_{7}e_{8}} und \overline{e_{1}e_{2}}. Die Abbildung φ_{2} ∘φ_{1} ist eine Drehung um den Winkel π um die Achse durch die Punkte (−1, −1, 0)^{t} und (1, 1, 0)^{t}, d.h. um die Achse durch die Seitenmittelpunkte von \overline{e_{1}e_{3}} und \overline{e_{6}e_{8}}.

(c) Die Matrix A_{1} beschreibt eine Drehung um die y-Achse. Also ist 1 ihr einziger reeller Eigenwert. Das sie in der xz-Ebene eine Drehung um π/2 beschreibt, hat sich noch die komplexen Eigenwere ±i. Die Matrix A_{2} beschreibt eine Drehung um die Achse \overline{e_{1}e_{8}} um den Winkel \frac{2π}{3} . Also ist 1 ihr einziger reeller Eigenwert, und sie aht noch die komplexen Eigenwerte exp(±i2π/3). Die Matrizen A_{1}A_{2} und A_{2}A_{1} beschreiben jeweils Drehungen um den Winkel π, also haben sie jeweils die Eigenwerte 1 (einfach) und −1 (zweifach).