WS 05/06 Priv.-Doz. Dr. S. Wewers Andreas Martin

Algebra I

3. Übungsblatt

Aufgabe 1: (1+1+1=3 P) Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:

(a) Sei H ⊂ G eine Untergruppe. Dann ist die Abbildung G × G/H → G/H, die einem Paar (g_{1}, g_{2}H) die Nebenklasse g_{1}g_{2}H zuordnet, eine transitive Operation von G auf der Menge G/H. Was ist der Stabilisator einer Nebenklasse aH ∈ G/H?

(b) Ist X eine Menge und G × X → X eine transitive Operation von G auf X, so gibt es eine Untergruppe H ⊂ G und eine Bijektion α : X → G/H so, dass

g · α(x) = α(g · x),

für alle x ∈ X und g ∈ G. (Die Operation von G auf G/H auf der linken Seite dieser Gleichheit sei dabei wie in (a) definiert.)

(c) Eine transitive Operation von G auf einer Menge X heiße normal, wenn für alle x, y ∈ X die Stabilisatoren gleich sind, G_{x} = G_{y}. Zeigen Sie: eine Untergruppe H ⊂ G ist genau dann ein Normalteiler, wenn die Operation von G auf G/H normal ist.

Lösung:

(a) Die Abbildung

G × G/H → G, (g, N) ↦ g ∗ N := {gn| n ∈ N}

ist wohldefiniert. Es gilt

e ∗ N = N

und

(g_{1}g_{2}) ∗ N = g_{1}g_{2}N = g_{1}(g_{2}N) = g_{1} ∗ (g_{2} ∗ N)

für alle g_{1}, g_{2} ∈ G und alle N ∈ G/H. Somit handelt es sich in der Tat um eine (Links-) Operation von G auf G/H. Sie ist transitiv, denn zu je zwei Linksnebenklassen g_{1}H, g_{2}H ∈ G/H setze man g_{3} := g_{2}g_{1}^{−1} ∈ G; es gilt dann

g_{3} ∗ (g_{1}H) = (g_{3}g_{1})H = g_{2}H .

Der Stabilisator der Nebenklassen aH ergibt sich zu

G_{aH} = {g ∈ G| g ∗ (aH) = aH} = {g ∈ G| a^{−1}ga ∈ H} = aHa^{−1} .

(b) Es sei y ∈ X beliebig, und H := G_{y} der Stabilisator von y. Nach Vorlesung ist H eine Untergruppe von G, und die Abbildung

G/G_{y} → Gy, gG_{y} ↦ gy

ist bijektiv. Nun gilt G_{y} = H, und wegen der Transitivität der Operation ist Gy = X. Mithin hat diese Abbildung eine bijektive Umkehrabbildung

α : X → G/H, gy ↦ gH, ∀g ∈ G .

Es sei nun x ∈ X. Also gilt x = g_{2}y für ein g_{2} ∈ G. Es folgt für alle g ∈ G, daß

gα(x) = gα(g_{2}y) = g(g_{2}H) = (gg_{2})H = α(gg_{2}y) = α(gx) .

(c) Es gilt mit dem Ergebnis aus (a)

G operiert normal auf G/H ⟺ G_{aH} = G_{eH}, ∀a ∈ G
⟺ aHa^{−1} = H, ∀a ∈ G
⟺ H ist Normalteiler von G .

Aufgabe 2: (1/2+1/2+1+2+1=5 P) Sei G eine Gruppe. Das Zentrum von G ist definiert als die Teilmenge

Z_{G} := { g ∈ G | gh = hg ∀ h ∈ G }.

Zeigen Sie:

(a) Das Zentrum ist eine Untergruppe von G.

(b) Die Abbildung G × G → G, (g, h) ↦ ghg^{−1}, ist eine Operation von G auf sich selbst. Die Bahnen dieser Operation sind gerade sie Konjugiertenklassen von G.

(c) Ein Element g ∈ G liegt im Zentrum von G genau dann, wenn die Konjugertenklasse von g aus genau einem Element besteht.

(d) Angenommen, G ist endlich und hat p^{n} Elemente, wobei p eine Primzahl ist und n ≥ 1. Dann ist das Zentrum von G nichttrivial, d.h. es hat mehr als nur ein Element. (Hinweis: benutzen Sie (a)-(c) und die Bahnengleichung.)

(e) Geben Sie eine nichttriviale Gruppe an, deren Zentrum trivial ist.

Lösung:

(a) Zunächst ist Z_{G} ≠ ∅, denn es gilt e ∈ Z_{G}. Es seien nun a, b ∈ Z_{G}. Dann gilt für alle h ∈ G, daß

(ab^{−1})h = a(h^{−1}b)^{−1} = a(bh^{−1})^{−1} = ahb^{−1} = h(ab^{−1}) ,

und somit ab^{−1} ∈ Z_{G}. Also ist Z_{G} eine Untergruppe von G. Ferner gilt für alle g ∈ Z_{G} und alle a ∈ G, daß

aga^{−1} = gaa^{−1} = g ∈ Z_{G} ,

d.h. Z_{G} ist Normalteiler von G.

(b) Die angegebene Abbildung G × G → G werde mit ∗ bezeichnet, d.h. g ∗ h :=

ghg^{−1}. Es gilt

e ∗ h = ehe^{−1} = h

und

(g_{1}g_{2}) ∗ h = g_{1}g_{2}h(g_{1}g_{2})^{−1} = g_{1}g_{2}hg_{2}^{−1}g_{1}^{−1} = g_{1} ∗ (g_{2} ∗ h)

für alle g_{1}, g_{2}, h ∈ G. Also ist ∗ eine Operation von G auf sich selbst. Die Bahn eines h ∈ G unter dieser Operation ist gleich

G ∗ h = {g ∗ h| g ∈ G} = {ghg^{−1}| g ∈ G} ,

also gleich seiner Konjugiertenklasse.

(c) Stets ist g ein Element seiner Konjugiertenklasse. Ferner gilt

g ∈ Z_{G} ⟺ gh = hg, ∀h ∈ G
⟺ g = hgh^{−1}, ∀h ∈ G
⟺ {hgh^{−1}| h ∈ G} = {g} .

Daraus folgt die Behauptung.

(d) Wir nehmen an, das Zentrum von G wäre trival und wollen einen Widerspruch herleiten.

Es gilt also

Z_{G} = {e} .

Nun ist {e} eine Konjugiertenklasse von G. Es seien x_{1}, …, x_{m} Vertreter der übrigen Konjugiertenklassen C_{1}, …, C_{m}, d.h. es gilt

C_{i} = {gx_{i}g^{−1} | g ∈ G}

und G ist die disjunkte Vereinigung

G = {e} ˙∪ C_{1} ˙∪ … ˙∪ C_{m} .

Die Elemente x_{1}, …, x_{m} liegen nicht im Zentrum von G. Nach (c) gilt daher |C_{i}| > 1 für i = 1, …, m. Ferner gilt nach Vorlesung

|C_{i}| = [G : G_{x_{i}}] ,

d.h. C_{i} ist ein Teiler von |G|. Daher ist |C_{i}| = p^{k_{i}} für ein k_{i} ≥ 1, für i = 1, …, m. Es folgt

p^{n} = |G| = |{e}| + |C_{1}| + … + |C_{m}| = 1 + p^{k_{1}} + … + p^{k_{m}} .

Dann wäre aber 1 durch p teilbar, ein Widerspruch.

(e) Es sei G := S_{3}. Nach Blatt 2, Aufgabe 2(b) sind die Konjugiertenklassen von S_{3} gegeben durch

{Id}, {(1 2), (1 3), (2 3)}, {(1 2 3), (1 3 2)} .

Also besteht nur die Konjugiertenklasse von Id nur aus einem Element. Nach (c) ist daher

Z_{S_{3}} = {Id} .

Aufgabe 3: (4 P) Sei p eine Primzahl. Zeigen Sie: eine Gruppe G mit p^{2} Elementen ist isomorph zu einer der beiden folgenden Gruppen:

• ℤ/ℤ · p^{2},

• ℤ/ℤ · p × ℤ/ℤ · p.

(Hinweis: benutzen Sie Aufgabe 2 (d).)

Lösung: Alle Elemente ≠ e von G haben die Ordnung p oder p^{2}, denn 1, p und p^{2} sind die einzigen Teiler der Gruppenordnung p^{2}. Wir unterscheiden zwei Fälle.

• Fall: G besitzt ein Element der Ordnung p^{2}.

Dann ist G gleich der von diesem Element erzeugten zyklischen Untergruppe. In diesem Fall ist also

G ≅ ℤ/p^{2}ℤ .

• Fall: G besitzt kein Element der Ordnung p^{2}.

Nach Aufgabe 2(c) ist Z_{G} nichttrivial, also gibt es ein Element a ∈ Z_{G} mit a ≠ e. Es folgt ord a = p. Die von a erzeugte Untergruppe ⟨a⟩ hat p Elemente. Also gibt es ein Element b ∈ G derart, daß b ∉ ⟨a⟩. Es folgt ord b = p. Für die Untergruppe ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ gilt nun

1 ≤ |⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩| < |⟨b⟩| = p .

Da ihre Ordnung ein Teiler von p^{2} sein muß, folgt also

⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {e} .

Man betrachte nun die Abbildung

φ : ℤ/pℤ × ℤ/pℤ → G, (\overline{m}, \overline{n}) ↦ a^{m}b^{n} .

Wegen ord a = ord b = p ist die Abbildung wohldefiniert. Sie ist ein Gruppenhomomorphismus, denn es gilt

φ ((\overline{m_{1}}, \overline{m_{2}}) + (\overline{m_{2}}, \overline{n_{2}})) = φ (\overline{m_{1}} + \overline{m_{2}}, \overline{n_{1}} + \overline{n_{2}}) = φ (\overline{m_{1} + m_{2}}, \overline{n_{1} + n_{2}})
= a^{m_{1}+m_{2}}b^{n_{1}n_{2}}  = a^{m_{1}}b^{n_{1}}a^{m_{2}}b^{n_{2}}
= φ (\overline{m_{1}}, \overline{n_{1}}) φ (\overline{m_{2}}, \overline{m_{2}})

für alle m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} ∈ ℤ. Man beachte beim vierten Gleichheitszeichen dabei, daß a ∈ Z_{G} gilt. Wir wollen nun zeigen, daß Kern φ = \{(\overline{0}, \overline{0})\} gilt.

Es sei dazu (\overline{m}, \overline{n}) ∈ ℤ/pℤ × ℤ/pℤ derart, daß a^{m}b^{n} = φ (\overline{m}, \overline{n}) = e. Es gilt also

b^{n} = a^{−m} ∈ ⟨a⟩ ∩ ⟨b⟩ = {e} .

Daraus folgt b^{n} = a^{m} = e und somit p|n und p|m. Daher ist \overline{m} = \overline{n} = \overline{0}.

Damit ist Kern φ = \{(\overline{0}, \overline{0})\} bewiesen, und der Homomorphismus φ ist injektiv. Da Z/pℤ × ℤ/pℤ und G gleich viele Elemente haben, ist φ sogar bijektiv, also ein Isomorphismus. Es gilt in diesem Fall also

G ≅ ℤ/pℤ × ℤ/pℤ .