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Forschungsseminar

Allgemeines Das Forschungsseminar des Instituts für Analysis dient der Einarbeitung in ein Thema der aktuellen Forschung mit dem Ziel wissenschaftliche Arbeiten in diesem Themengebiet zu verfassen. Es ist anspruchsvoll und richtet sich an Mitarbeiter und Studenten im hohen Semester.
Termin Im Sommersemester 2007 findet das Forschungsseminar am
Dienstags von 16:00 bis 18:00 Uhr
in der
Helmholtzstraße 18, Raum E-060
statt. Terminänderungen werden im Institut bekannt gegeben.
Themen Sommer 2007 Teil 1: Einleitung und Problemstellung

Inhalt: Das Dirichletproblem der H-Flächengleichung, Zusammenhang zum Variationsproblem, bekannte Existenzresultate auf konvexen Gebieten (n=2) sowie mean-konvexen Gebieten (n>2), Vorstellen verschiedener Lösungsmethoden

Teil 2: Lösung des Dirichletproblems bei Nullrandwerten

2.1 Konstruktion rotationssymmetrischer Lösungen
Inhalt: Überführung der H-Flächengleichung im rotationssymmetrischen Fall auf eine gewöhnliche Differentialgleichung, Lösung dieser gewöhnlichen Differentialgleichung mittels Integraldarstellung, Eigenschaften der Lösung (Definitions- und Wertebereich in Abhängigkeit von den Parametern)
Literatur: [1], Abschnitt 2 (Proposition 1)

2.2 Lösung des Dirichletproblemes bei Nullrandwerten
Inhalt: Herleitung der Randgradientenabschätzung, dabei Verwendung der Lösungen aus Teil 2.1. als Barrieren; Ableitung der globalen Gradientenabschätzung und Kontruktion einer Lösung des Dirichletproblems mittels der Leray-Schauder Methode
Literatur: [1], Abschnitt 1 (Theorem 1), Abschnitt 2 (Theorem 3) und Abschnitt 3

Teil 3: Das Dirichletproblem bei lipschitzstetigen Randwerten

3.1 Barrierenkonstruktion für allgemeine elliptische Diffentialoperatoren
Inhalt: Konstruktion von Super- und Sublösungen (Barrieren) für Differentialoperatoren vom mittleren Krümmungstyp mit lipschitzstetigen Randdaten unter einer Kleinheitsbedingung der Lipschitzkonstanten
Literatur: [2], Abschnitt I und II

3.2 Lösung des Dirichletproblems der H-Flächengleichung bei lipschitzstetigen Randdaten
Inhalt: Benutzung der Barrieren aus 3.1 zusammen mit der Lösung aus 2.2 um zu zeigen, dass schwache Lösung (z.B. aus Variations-oder Perron-Methode) stetig bis zum Rand ist und die Randwerte annimmt
Literatur: [2], Abschnitt III, Theorem 2 zusammen mit [1] Theorem 1

Teil 4: Flächen von vorgeschriebener F-mittlerer Krümmung

4.1 Erste Variation des Funktionals
Inhalt: Berechnung der ersten Variation des Funktionales F im Falle einer reinen Normalenvariation, Ableitung der Euler-Gleichung der ersten Variation, Definition der F-mittleren Krümmung
Literatur: [4], Abschnitt 1

4.2 Einschließungssätze für Flächen von F-mittlerer Krüung
Inhalt: Der Differentialoperator in lokalen Koordinaten, konvexe Hülleneigenschaft bei verschwindender F-mittlerer Krümmung, einschließende Kugeln bei vorgeschriebener F-mittlerer Krümmung
Literatur: [4], Abschnitt 0 und 1

4.3 Eine Differentialgleichung für den Normalenvektor
Inhalt: Herleitung einer elliptischen Differentialgleichung für den Normalenvektor einer Fläche mit vorgeschriebener F-mittlerer Krümmung, evtl. weitere Einschließungssätze.
Literatur: [5], Abschnitt 2 und 3

Literatur

[1] M. Bergner: On the Dirichlet problem for the prescribed mean curvature equation over nonconvex domains, preprint am Fachbereich Mathematik an der Technischen Universität Darmstadt, Februar 2007
[2] F. Schulz, G. Williams: Barriers and existence results for a class of equations of mean curvature type, Analysis 7, 359 - 374, 1987
[3] G. Williams: The Dirichlet problem for the minimal surface equation with Lipschitz continuous boundary data, Journal Reine Angew. Math. 354, 123 - 140, 1849
[4] U. Clarenz: Enclosure theorem for extremals of elliptic parametric functionals, Calc. Var. 15, 313 - 324, 2002
[5] U. Clarenz, H. von der Mosel: On surfaces of prescribed F-mean curvature, Pac. Journal, Vol. 213, Nr. 1, 1 - 21, 2004