Ringvorlesung Mathematik SS 2003 |
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Numerische Simulation mit Wavelets Wavelets finden heutzutage vielfältige Anwendungen. Die Grundidee für deren Verwendung besteht darin, ein gegebenes 'Signal' (z.B. ein Bild aber auch eine Funktion oder einen Operator) in seinen groben Anteil und Detailinformationen zu zerlegen. Die Analyse des Informationsgehaltes des Details kann dann dazu führen, dass diese als nicht signifikant erkannt werden und weggelassen werden. So erhält man ein komprimiertes Signal. Dieses Grundprinzip wird u.a. beim Bildkompressions-Standard JPEG2000 verwendet. Weitere Anwendungen sind adaptive numerische Verfahren zur Lösung z.B. von Strömungsproblemen. Bei solchen Problemen (z.B. in der Wettervorhersage) ist man oft nicht an einer gleichmässig guten Auflösung überall interessiert, man möchte bestimmte, oft lokalisierte Informationen gewinnen (z.B. das Wetter in Ulm). Nun soll ein numerisches Verfahren w"ahrend des Rechenprozesses automatisch ('adaptiv', d.h. ohne Kenntniss der Lösung) erkennen, in welchen Bereichen eine hohe Auflösung notwendig ist und wo eine grobe Approximation ausreicht. In dieser Vorlesung werden die mathematischen Konzepte dargestellt und erläutert und anhand einiger konkreter Anwendungen illustriert. |
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