Werner Kratz Sommersemester 2006 Markus Wahrheit 25.07.2006

Klausur zur Analysis IV

100% = 100 Punkte

Zum Erwerb des Scheins sind - neben mind. 50% der Übungspunkte - mind. 50 Punkte in der Klausur zu erreichen.

Notenschlüssel: Anzahl der Punkte > 92 : 1, 0 | 92 − 88 : 1, 3 | 87 − 84 : 1, 7 | 83 − 80 : 2, 0 | 79 − 75 : 2, 3 | 74 − 70 : 2, 7 | 69 − 65 : 3, 0 | 64 − 60 : 3, 3 | 59 − 55 : 3, 7 | 54 − 50 : 4, 0 | < 50: nicht bestanden.

Hilfsmittel: 2 DIN A4 Blätter mit eigenen Aufzeichnungen, kein Taschenrechner.

Zeit: 120 Minuten.

1. (a) Schreibe die folgenden Funktionen f(z) : ℂ → ℂ (z = x + iy ∈ ℂ) in der Form u + iv mit expliziten Formeln für die reellwertigen Funktionen u(x, y) und v(x, y).

z^{2} − 4\overline{z}^{2} + 4, exp(iz).

Überprüfe jeweils mittels der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen die komplexe Differenzierbarkeit und berechne im Falle der Existenz f′(z). Für welche z ∈ ℂ ist f(z) holomorph? (8)

(b) Es sei f : D → ℂ holomorph in dem Gebiet D ⊂ ℂ mit Re f(z) = Im f(z) für alle z ∈ D. Zeige, dass f konstant ist. (4)

2. (a) Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs (nicht geschlossener) Kurven α in ℂ.

(i) ∫_{α} z cos z^{2} dz, α(t) = \sqrt{t} + i(t − π/2) sin t, t ∈ [π/2, π].

(ii) ∫_{α} \frac{|z + 1|^{2}}{z} dz, α(t) = exp(it), t ∈ [0, π].

(6)

(b) Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs geschlossener Kurven α in ℂ mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes bzw. mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel.

(i) ∮_{|z|=1} e^{z^{2}} dz. (ii) ∮_{|z|=1} \frac{dz}{i − 2z} . (iii) ∮_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z^{2} + z} dz.

(6)

3. Entwickle folgende Funktionen, wenn möglich, in eine Potenzreihe um z_{0} und gebe jeweils deren Konvergenzradius an.

(a) \frac{1}{z}, z_{0} = 2.  (b) log z, z_{0} = 1.
(c) z + \overline{z}, z_{0} = 1. (d) cosh^{2} z, z_{0} = 0.

4. (a) Es sei f eine ganze Funktion mit Re f(z) ≥ 1 für alle z ∈ ℂ. Zeige: f ist

konstant. (8)

(b) Es sei f holomorph im Punkt z_{0} ∈ ℂ und g habe dort einen Pol erster Ordnung. Zeige: Res(fg; z_{0}) = f(z_{0})Res(g; z_{0}). (9)

5. (a) Klassifiziere alle isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen und berechne jeweils die Residuen. Bestimme in einem Falle eine Laurentreihe um die isolierte Singularität.

(i) \frac{z^{2}}{(1 + z^{2})^{2}} .

(ii) \frac{sin z}{z^{7}} .

(iii) cot (\frac{1}{1 − z} ).

(iv) \frac{sinh z}{sin z}. (18)

(b) Berechne mit Hilfe des Residuensatzes die folgenden komplexen Kurvenintegrale.

(i) ∮_{|z|=1} \frac{exp z}{z^{4}} dz. (ii) ∮_{|z|=1} cot z dz.

(5)

(c) Berechne die folgenden uneigentlichen Integrale.

(i) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} dx. (ii) ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos x}{4 + x^{2}} dx.

(10)

6. Entscheide, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Kreuze auf dem zugehörigen Beiblatt entsprechend an.

Achtung! Die Punkte für diese Aufgabe werden wie folgt vergeben:

richtig angekreuzt 2 Punkte
nicht angekreuzt 0 Punkte
falsch angekreuzt -2 Punkte

Bei negativem Punktesaldo werden für diese Aufgabe 0 Punkte vergeben.

(a) Ist eine Funktion f : ℂ → ℂ in einem Punkt z_{0} ∈ ℂ komplex differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt beliebig oft komplex differenzierbar.

(b) Eine in einem Sterngebiet D ⊂ ℂ holomorphe Funktion besitzt dort eine Stammfunktion.

(c) Die punktierte komplexe Ebene ℂ^{∗} := ℂ \ {0} ist ein Sterngebiet.

(d) Jede in einer offenen Kreisscheibe holomorphe Funktion ist dort der kompakte Grenzwert einer Potenzreihe.

(e) Die Funktion log z besitzt im Punkte z_{0} = 0 eine isolierte Singularität.

(f) Die Menge der Nullstellen einer in einem Gebiet holomorphen Funktion, die nicht die Nullfunktion ist, ist diskret. (12)