Lösungsvorschläge für die Klausur zur Analysis IV

25.07.2006

1. Aufgabe:

(a) Schreibe die folgenden Funktionen f(z) : ℂ → ℂ (z = x+iy ∈ ℂ) in der Form u+iv mit expliziten Formeln für die reellwertigen Funktionen u(x, y) und v(x, y).

z^{2} − 4\overline{z}^{2} + 4, exp(iz).

Überprüfe jeweils mittels der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen die komplexe Differenzierbarkeit und berechne im Falle der Existenz f′(z). Für welche z ∈ ℂ ist f(z) holomorph? (8)

(b) Es sei f : D → ℂ holomorph in dem Gebiet D ⊂ ℂ mit Re f(z) = Im f(z) für alle z ∈ D. Zeige, dass f konstant ist. (4)

Lösungsvorschlag:

(a) • Es ist

z^{2} − 4\overline{z}^{2} + 4 = (x + iy)^{2} − 4(x − iy)^{2} + 4 = \underbrace{−3x^{2} + 3y^{2} + 4}_{=:u(x,y)} +i \underbrace{10xy}_{=:v(x,y)} .

Wir überprüfen auf komplexe Differenzierbarkeit in dem Punkt z = x + iy ∈ ℂ mittels der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen:

\begin{aligned}u_{x}(x, y) & = & −6x & =^{!} & 10x & = & v_{y}(x, y) \\ u_{y}(x, y) & = & 6y & =^{!} & −10y & = & −v_{x}(x, y). \end{aligned}

Aus den beiden Gleichungen und der Tatsache, dass die partiellen Ableitungen stetig sind, ergibt sich, dass die gegebene Funktion genau im Nullpunkt, d.h. für x = y = 0, komplex differenzierbar ist. Insbesondere ist sie also nirgends holomorph. Die Ableitung in der Null berechnet sich zu

(z^{2} − 4\overline{z}^{2} + 4)′|_{z=0} = u_{x}(0, 0) + iv_{x}(0, 0) = 0.

• Es ist

e^{iz} = e^{−y+ix} = \underbrace{e^{−y} cos x}_{=:u(x,y)} +i \underbrace{e^{−y} sin x}_{=:v(x,y)} .

Wir überprüfen auf komplexe Differenzierbarkeit in dem Punkt z = x + iy ∈ ℂ mittels der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen:

\begin{aligned}u_{x}(x, y) & = & −e^{−y} sin x & = & v_{y}(x, y) \\ u_{y}(x, y) & = & −e^{−y} cos x & = & −v_{x}(x, y). \end{aligned}

Aufgrund der Stetigkeit der partiellen Ableitungen ist die gegebene Funktion in allen Punkten der komplexen Ebene komplex differenzierbar, d.h. ganz. Ihre Ableitung ergibt sich zu

(e^{iz})′ = ie^{iz}.

(b) Es sei z = x + iy ∈ ℂ und f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) mit reellwertigen Funktionen u, v. Dann ist nach Voraussetzung u(x, y) = v(x, y) für alle x, y ∈ ℝ. Demzufolge ist u_{x}(x, y) = v_{x}(x, y) und u_{y}(x, y) = v_{y}(x, y) für alle x, y ∈ ℝ. Mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ergibt sich somit

u_{x}(x, y) = v_{y}(x, y) = u_{y}(x, y) = −v_{x}(x, y) = −u_{x}(x, y) für alle x, y ∈ ℝ.

Damit ist u_{x} = u_{y} = v_{x} = v_{y} = 0, und hieraus ergibt sich die Konstanz der Funktion f.

2. Aufgabe:

(a) Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs (nicht geschlossener) Kurven α in ℂ.

(i) ∫_{α} z cos z^{2} dz, α(t) = \sqrt{t} + i(t − π/2) sin t, t ∈ [π/2, π].

(ii) ∫_{α} \frac{|z + 1|^{2}}{z} dz, α(t) = exp(it), t ∈ [0, π].

(6)

(b) Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs geschlossener Kurven α in ℂ mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes bzw. mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel.

(i) ∮_{|z|=1} e^{z^{2}} dz. (ii) ∮_{|z|=1} \frac{dz}{i − 2z} . (iii) ∮_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z^{2} + z} dz.

(6)

Lösungsvorschlag:

(a) (i) Es ist

∫_{α} z cos z^{2} dz = \frac{sin z^{2}}{2} |\begin{matrix}√ & \overline{π} \\ √ & \overline{π/2} \end{matrix} = − \frac{1}{2},

wobei α(t) = \sqrt{t} + i(t − π/2) sin t, t ∈ [π/2, π]. (ii) Es ist

∫_{α} \frac{|z + 1|^{2}}{z} dz  = i ∫_{0}^{π} \frac{(e^{it} + 1)(e^{−it} + 1)}{e^{it}} e^{it} dt
= i ∫_{0}^{π} 2 + 2 cos t dt = 2πi + 2 sin t|_{0}^{π} = 2πi,

wobei α(t) = exp(it), t ∈ [0, π].

(b) (i) Da e^{z^{2}} als Komposition holomorpher Funktionen holomorph ist, folgt aus dem

Cauchyschen Integralsatz ∫_{|z|=1} e^{z^{2}}dz = 0. (ii) Es ist

∮_{|z|=1} \frac{dz}{i − 2z} = −\frac{1}{2} ∮_{|z|=1} \frac{dz}{z − i/2} = −\frac{1}{2} · 2πi · 1 = −πi.

(iii) Es ist

∮_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z^{2} + z} dz = ∮_{|z|=2} \frac{e^{z}}{z} − \frac{e^{z}}{z + 1} dz = 2πi (e^{0} − e^{−1}) = 2πi (1 − e^{−1}) .

3. Aufgabe: Entwickle folgende Funktionen, wenn möglich, in eine Potenzreihe um z_{0} und gebe jeweils deren Konvergenzradius an.

(a) \frac{1}{z}, z_{0} = 2.  (b) log z, z_{0} = 1.
(c) z + \overline{z}, z_{0} = 1. (d) cosh^{2} z, z_{0} = 0.

(14)

Lösungsvorschlag:

(a) Mit der geometrischen Reihe ergibt sich

\frac{1}{z} = \frac{1}{2 + z − 2} = \frac{1}{2} · \frac{1}{1 − (−(\frac{z}{2} − 1))} = \frac{1}{2} ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2^{k}} (z − 2)^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{2^{k+1}} (z − 2)^{k}.

Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe beträgt 2.

(b) Wiederum ergibt sich mit der geometrischen Reihe

(log z)′ = \frac{1}{z} = \frac{1}{1 + z − 1} = \frac{1}{1 − (−(z − 1))} = ∑_{k=0}^{∞}(−1)^{k}(z − 1)^{k}.

Damit ist

log z = ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k} (z − 1)^{k}.

Der Konvergenzradius dieser Potenzreihe beträgt 1.

(c) Da \overline{z} in keinem Punkt der komplexen Ebene holomorph ist und somit insbesondere nicht im Punkt z_{0} = 1 holomorph ist, ist z + \overline{z} nicht in eine Potenzreihe um diesen Punkt mit positivem Konvergenzradius entwickelbar.

(d) Es ist

cosh^{2} z = (\frac{e^{z} + e^{−z}}{2} )^{2} = \frac{e^{2z} + e^{−2z} + 2}{4} = \frac{1}{2}(1 + cosh 2z).

Wegen

cosh z = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{(2k)!} z^{2k}

ist also

cosh^{2} z = \frac{1}{2} (1 + ∑_{k=0}^{∞} \frac{4^{k}}{(2k)!} z^{2k}) .

Da cosh^{2} z eine ganze Funktion ist, ist der Konvergenzradius unendlich.

(a) Es sei f eine ganze Funktion mit Re f(z) ≥ 1 für alle z ∈ ℂ. Zeige: f ist konstant. (8)

(b) Es sei f holomorph im Punkt z_{0} ∈ ℂ und g habe dort einen Pol erster Ordnung. Zeige: Res(fg; z_{0}) = f(z_{0})Res(g; z_{0}). (9)

Lösungsvorschlag:

(a) 1. Möglichkeit: Da das Bild einer ganzen Funktion, die nicht konstant ist, dicht in ℂ liegt, muss f konstant sein.

2. Möglichkeit: Betrachten wir g := −f, so ist Re g(z) ≤ −1 für alle z ∈ ℂ. Damit ist

|e^{g(z)}| = e^{Re g(z)} ≤ \frac{1}{e} für alle z ∈ ℂ.

Folglich ist die ganze Funktion exp ∘g beschränkt in ℂ und somit ist nach dem Satz von Liouville exp ∘g und damit g konstant. Also ist auch f = −g konstant.

3. Möglichkeit: Mit Re f ≥ 1 ist |f| ≥ 1. Betrachten wir die ganze Funktion g := 1/f, so ist |g| ≤ 1. Nach dem Satz von Liouville ist damit jedoch g und somit auch f konstant.

(b) Es ist

Res(fg; z_{0}) = lim_{z→z_{0}}(fg)(z)(z − z_{0}) = f(z_{0}) lim_{z→z_{0}} g(z)(z − z_{0}) = f(z_{0})Res(g; z_{0}).

(a) Klassifiziere alle isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen und berechne jeweils die Residuen. Bestimme in einem Falle eine Laurentreihe um die isolierte Singularität.

(i) \frac{z^{2}}{(1 + z^{2})^{2}} .

(ii) \frac{sin z}{z^{7}} .

(iii) cot (\frac{1}{1 − z} ).

(iv) \frac{sinh z}{sin z}. (18)

(b) Berechne mit Hilfe des Residuensatzes die folgenden komplexen Kurvenintegrale.

(i) ∮_{|z|=1} \frac{exp z}{z^{4}} dz. (ii) ∮_{|z|=1} cot z dz.

(5)

(c) Berechne die folgenden uneigentlichen Integrale.

(i) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} dx. (ii) ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos x}{4 + x^{2}} dx.

(10)

Lösungsvorschlag:

(a) (i) \frac{z^{2}}{(1+z^{2})^{2}} besitzt in den Punkten −i und i jeweils Pole zweiter Ordnung. Es ist

Res (\frac{z^{2}}{(1 + z^{2})^{2}} ; i) = (\frac{z^{2}}{(z + i)^{2}} )′|_{z=i} = \frac{2z(z + i) − 2z^{2}}{(z + i)^{3}} |_{z=i} = − \frac{i}{4}

und

Res (\frac{z^{2}}{(1 + z^{2})^{2}} ; −i) = (\frac{z^{2}}{(z − i)^{2}} )′|_{z=−i} = \frac{2z(z − i) − 2z^{2}}{(z − i)^{3}} |_{z=−i} = \frac{i}{4}

(ii) Es ist

\frac{sin z}{z^{7}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k + 1)!}z^{2k−6} = ∑_{k=−3}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{(2k + 7)!}z^{2k}

und somit besitzt \frac{sin z}{z^{7}} in der Null einen Pol sechster Ordnung. Da der Koeffizient der Laurentreihe vor z^{−1} gleich Null ist, ist Res (\frac{sin z}{z^{7}}; 0) = 0.

(iii) Es ist

cot (\frac{1}{1 − z} ) = \begin{matrix}cos & (\frac{1}{1−z}) \\ sin & (\frac{1}{1−z}) \end{matrix}.

Weiter ist

sin (\frac{1}{1 − z} ) = 0 ⟺ \frac{1}{1 − z_{k}} = πk, k ∈ ℤ^{∗} ⟺ z_{k} = 1 − \frac{1}{πk} , k ∈ ℤ^{∗}.

In diesen Punkten besitzt die Funktion Pole erster Ordnung und es gilt

Res (cot (\frac{1}{1 − z} ); z_{k}) = lim_{z→z_{k}} \frac{(z − z_{k}) cos (\frac{1}{1−z})}{sin (\frac{1}{1−z})} = \begin{matrix}cos & (\frac{1}{1−z_{k}} ) \\ \frac{1}{(1−z_{k})^{2}} & cos & (\frac{1}{1−z_{k}} ) \end{matrix}

= (1 − z_{k})^{2} = \frac{1}{(πk)^{2}} .

Beachte, dass die gegebene Funktion in z = 1 keine isolierte Singularität besitzt, da die Eins ein Häufungspunkt von Polen jener Funktion ist.

(iv) Es ist

sin z = 0 ⟺ z = z_{k} = kπ, k ∈ ℤ.

Da sinh z_{k} = 0 genau für k = 0 gilt, und alle Nullstellen des Sinus einfach sind, besitzt die Funktion \frac{sinh z}{sin z} für k = 0 eine hebbare Singularität im Nullpunkt. In den Punkten z_{k} = kπ, k ∈ ℤ\{0}, besitzt sie jeweils einen Pol erster Ordnung. Folglich gilt

Res (\frac{sinh z}{sin z}; 0) = 0

und es ist

Res (\frac{sinh z}{sin z}; z_{k}) = lim_{z→z_{k}}(z−z_{k}) \frac{sinh z}{sin z} = \frac{sinh z_{k}}{cos z_{k}} = \{ \begin{matrix}sinh kπ, & k ≠ 0, k gerade \\ − sinh kπ, & k ungerade \end{matrix}

(b) (i) Wegen

Res (\frac{exp z}{z^{4}} ; 0) = \frac{1}{3!} (exp z)^{(3)}|_{z=0} = \frac{1}{6}

ist

∮_{|z|=1} \frac{exp z}{z^{4}} dz = 2πi \frac{1}{6} = \frac{π}{3} i.

(ii) Die Null ist die einzige Nullstelle des Sinus innerhalb der Einheitskreisscheibe. 1. Möglichkeit: Wir bestimmen zunächst

Res(cot z; 0) = lim_{z→0} \frac{z cos z}{sin z} = \frac{cos 0}{cos 0} = 1.

Damit ist

∮_{|z|=1} cot z dz = 2πi.

2. Möglichkeit: Gemäß des Argumentprinzips folgt unmittelbar, dass

∮_{|z|=1} cot z dz = 2πi.

(c) (i) 1. Möglichkeit: Nach Aufgabenteil (a) (i) ist

Res (\frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} ; i) = −\frac{i}{4} .

Damit ist

∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} dx = 2πi · (− \frac{i}{4}) = \frac{π}{2} .

2. Möglichkeit: Wir berechnen

\begin{aligned}∫_{−∞}^{∞} \frac{1 + x^{2} − 1}{(1 + x^{2})^{2}} dx & = & ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{1 + x^{2}} dx − ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(1 + x^{2})^{2}} dx \\ & = & 2πi · \frac{1}{2i} − 2πi (\frac{1}{(x + i)^{2}} )′|_{x=i} = π − \frac{π}{2} = \frac{π}{2} . \end{aligned}

(ii) Es ist

∫_{−∞}^{∞} \frac{cos x}{4 + x^{2}} dx = Re (2πi Res (\frac{exp(iz)}{4 + z^{2}}; 2i))

= Re (2πi \frac{exp(−2)}{4i}) = \frac{π}{2} e^{−2}.

6. Aufgabe: Entscheide, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Kreuze auf dem zugehörigen Beiblatt entsprechend an.

Achtung! Die Punkte für diese Aufgabe werden wie folgt vergeben:

richtig angekreuzt 2 Punkte
nicht angekreuzt 0 Punkte
falsch angekreuzt -2 Punkte

Bei negativem Punktesaldo werden für diese Aufgabe 0 Punkte vergeben.

(a) Ist eine Funktion f : ℂ → ℂ in einem Punkt z_{0} ∈ ℂ komplex differenzierbar, so ist sie in diesem Punkt beliebig oft komplex differenzierbar.

(b) Eine in einem Sterngebiet D ⊂ ℂ holomorphe Funktion besitzt dort eine Stammfunktion.

(c) Die punktierte komplexe Ebene ℂ^{∗} := ℂ \ {0} ist ein Sterngebiet.

(d) Jede in einer offenen Kreisscheibe holomorphe Funktion ist dort der kompakte Grenzwert einer Potenzreihe.

(e) Die Funktion log z besitzt im Punkte z_{0} = 0 eine isolierte Singularität.

(f) Die Menge der Nullstellen einer in einem Gebiet holomorphen Funktion, die nicht die Nullfunktion ist, ist diskret. (12)

Lösungsvorschlag:

Aussage richtig falsch
1.  ◯ ⨂
2. ⨂ ◯
3.  ◯ ⨂
4. ⨂ ◯
5.  ◯ ⨂
6.  ⨂ ◯