Werner Kratz Sommersemester 2006 Markus Wahrheit 04.05.2006

Blatt 2

Übungen zur Analysis IV

Abgabe und Besprechung: Montag, den 15.05.2006

6. Es sei \overline{ℂ} = ℂ ∪ \{∞\} und es sei p : \overline{ℂ} → \{(ξ, η, ζ)^{T} ∈ ℝ^{3} | ξ^{2} + η^{2} + (ζ − \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}\} die stereographische Projektion, d.h.

p(z) = \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} (\begin{matrix}x \\ y \\ x^{2} + y^{2} \end{matrix}) , z = x + iy ∈ ℂ, p(∞) = (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) .

Ferner sei

χ(z, w) := |p(z) − p(w)|, z, w ∈ \overline{ℂ},

mit dem Euklidischen Abstand auf ℝ^{3}. Zeige:

(a) χ bildet eine Metrik auf \overline{ℂ} (die so genannte chordale Metrik), d.h. es gilt für alle z, w, y ∈ \overline{ℂ}:

(i) χ(z, w) ≥ 0 und = 0 genau dann, wenn z = w. (ii) χ(z, w) = χ(w, z). (iii) χ(z, y) ≤ χ(z, w) + χ(w, y).

(b)

χ(z, w) = \frac{|z − w|}{\sqrt{1 + |z|^{2}}\sqrt{1 + |w|^{2}}} , χ(z, ∞) = \frac{1}{\sqrt{1 + |z|^{2}}}

für alle z, w ∈ ℂ.

(c) Die Bilder von z und w ∈ ℂ unter der stereographischen Projektion stehen diametral gegenüber genau dann, wenn z\overline{w} = −1 gilt. (7)

7. (a) Zeige, dass es keine Funktion f : ℂ^{∗} → ℂ^{∗} gibt mit f(zw) = f(z)f(w) und (f(z))^{2} = z für alle z, w ∈ ℂ^{∗} := ℂ \ {0}.

Hinweis: Betrachte f(−1) und f(1).

(b) Zeige, dass es keine Funktion f : ℂ^{∗} → ℂ^{∗} gibt die stetig ist und (f(z))^{2} = z für alle z ∈ ℂ^{∗} erfüllt. Es gibt also keine stetige Wurzel in ℂ.

Hinweis: Betrachte für festes a ∈ ℂ^{∗} die Funktion g(z) := \frac{f(a)f(z)}{f(az)} für z ∈ ℂ^{∗}. Zeige, dass g(z) ∈ {−1, 1} für alle z ∈ ℂ^{∗}.

(c) Zeige, dass es keine Funktion φ : ℂ^{∗} → ℝ gibt die stetig ist und z = |z|e^{iφ(z)} für alle z ∈ ℂ^{∗} erfüllt. Es gibt also keine stetige Argumentfunktion in ℂ^{∗}.

Hinweis: Verwende Teil (b). (6)

8. Bestimme mittels des Logarithmus und der Exponentialfunktion eine Funktion f : ℂ̃ → ℂ mit

(a) (f(z))^{2} = z für z ∈ ℂ̃ und f(z) ∈ ℝ, f(z) > 0 für z ∈ ℝ, z > 0, wobei ℂ̃ = ℂ^{∗}.

(b) tan f(z) = z für z ∈ ℂ̃ und f(z) ∈ ℝ für z ∈ ℝ, wobei ℂ̃ = ℂ \ {−i, i}. (4)

9. Finde alle Lösungen w ∈ ℂ mit

(a) e^{w} = −1. (b) e^{w} = i. (c) e^{(log w)/i} = i. (d) w^{3} = i.