Werner Kratz Sommersemester 2006 Markus Wahrheit 11.05.2006

Blatt 3

Übungen zur Analysis IV

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 18.05.2006

10. (a) Untersuche in welchen Punkten z ∈ ℂ die folgenden Funktionen komplex differenzierbar und in welchen sie holomorph sind.

(i) f(z) = |z|^{2}.

(ii) f(z) = cos x cosh y − i sin x sinh y für z = x + iy.

(iii) f(z) = x^{2}y^{3} + ix^{3}y^{2} für z = x + iy.

(b) Zeige, dass f(z) = z^{α} für alle α ∈ ℂ holomorph in ℂ_{−} ist und bestimme (z^{α})′ für alle z ∈ ℂ_{−}.

(c) Es sei D := ℂ \ {z ∈ ℂ | z = iy, y ∈ ℝ, |y| > 1} und arctan : D → ℂ definiert durch arctan z = \frac{1}{2i} log \frac{1+iz}{1−iz}. Zeige, dass arctan holomorph in D ist und bestimme (arctan z)′ für alle z ∈ D. (4)

11. Es sei f : D → ℂ holomorph in dem Gebiet D ⊂ ℂ. Zeige, dass dann jede der Bedingungen

(a) Re f ist konstant in D, oder

(b) Im f ist konstant in D, oder

(c) |f| ist konstant in D

impliziert, dass f konstant in D ist. (4)

12. Schreibe die folgenden Funktionen f(z) auf ihrem natürlichen Definitionsbereich in der Form u + iv mit expliziten Formeln für u(x, y) und v(x, y):

sin z, cosh(\overline{z}), cos z, tan z.

Überprüfe jeweils mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen auf komplexe Differenzierbarkeit und berechne im Falle der Existenz f′(z). Für welche z ∈ ℂ ist f(z) holomorph? (6)

13. Es sei f = u + iv holomorph in D ⊂ ℂ, D offen, mit u, v ∈ C^{2}(D). Zeige: Dann sind u und v harmonisch in D, d.h. für alle (x, y) ∈ D gilt:

Δu(x, y) = u_{xx}(x, y) + u_{yy}(x, y) = Δv(x, y) = v_{xx}(x, y) + v_{yy}(x, y) = 0.

14. Bestimme eine Parameterdarstellung der unten skizzierten Kurven. Berechne ferner (möglichst explizit) die Länge der gegebenen Kurven. (4)

(a)  ^{y = x^{2}}^{iℝ}  ^{ℝ} (Parabel)

(b)  ^{x^{2} − y^{2} = 1}^{iℝ}  ^{ℝ}  (Hyperbel)

(c)  ^{b} ^{iℝ}  ^{a} ^{ℝ} (Ellipse)