Werner Kratz Sommersemester 2006 Markus Wahrheit 22.06.2006

Blatt 7

Übungen zur Analysis IV

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 29.06.2006

26. Es sei f : D → ℂ holomorph und nicht konstant im Gebiet D ⊂ ℂ.

Dann besitzen die Funktionen Re f und Im f keine lokalen Extrema in D. (3)

27. Gleichheit im Schwarzschen Lemma.

Es sei f : 𝔼 → 𝔼 holomorph in 𝔼 := {z ∈ ℂ : |z| < 1}. Weiterhin sei f(0) = 0 und |f(z)| = |z| für ein z ∈ 𝔼, z ≠ 0. Dann gibt es ein ζ ∈ ℂ mit |ζ| = 1 so, dass f(z) = ζz für alle z ∈ 𝔼 gilt. (3)

28. (a) Es sei a ∈ 𝔼 := {z ∈ ℂ : |z| < 1}.

Dann ist φ_{a}(z) := \frac{z − a}{\overline{a}z − 1} eine bijektive Abbildung von 𝔼 auf 𝔼 mit φ_{a}^{−1} = φ_{a}.

(b) Es sei f : 𝔼 → 𝔼 holomorph in 𝔼 und besitze zwei verschiedene Fixpunkte, d.h. es gibt a, b ∈ 𝔼, a ≠ b, so, dass f(a) = a und f(b) = b. Dann ist f(z) = z für alle z ∈ 𝔼. (5)

29. Bestimme zu den gegebenen Funktionen möglichst große, offene Definitionsbereiche. Bestimme ferner alle isolierten Singularitäten und klassifiziere sie.

(a) \frac{z + 2}{z(z + 1)(z − 1)^{3}} .

(b) \frac{1}{1 + z^{n}} , n ∈ ℕ.

(c) \frac{z(π − z)}{sin(2z)} .

(d) z^{1/2}.

(e) cos (\frac{1}{z − 1}). (5)

30. Analytische Fortsetzung der Gamma-Funktion.

Zeige: Γ(z) := ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{z−1} dt besitzt eine analytische Fortsetzung auf D := ℂ \ {n ∈ ℤ | n ≤ 0} mittels der zu beweisenden Darstellung

Γ(z) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{k!} \frac{1}{z + k} + ∫_{1}^{∞} e^{−t}t^{z−1} dt für z ∈ D.