Werner Kratz Sommersemester 2006 Markus Wahrheit 29.06.2006

Blatt 8

Übungen zur Analysis IV

Abgabe und Besprechung: Montag, den 10.07.2006

31. Zeige die folgende komplexe Version der Regel von de l’Hospital.

Die Funktionen f und g seien holomorph im Punkt z_{0} ∈ ℂ und sie besitzen in z_{0} eine Nullstelle derselben Ordnung m ∈ ℕ. Dann hat h := f/g eine hebbare Singularität in z_{0} und es gilt:

lim_{z→z_{0}} \frac{f(z)}{g(z)} = \frac{f^{(m)}(z_{0})}{g^{(m)}(z_{0})} .

(2)

32. Es sei z_{0} ∈ ℂ eine isolierte Singularität der Funktion f, die nicht hebbar ist. Zeige: exp ∘f besitzt eine wesentliche Singularität in z_{0}. (4)

33. (a) Es sei f : ℂ → ℂ eine ganze Funktion. Zeige, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind.

(i) f ist transzendent, d.h. kein Polynom.

(ii) f (\frac{1}{z}) besitzt in Null eine wesentliche Singularität.

(b) Es sei f : ℂ → ℂ eine ganze, transzendente Funktion. Zeige: f ({z ∈ ℂ : |z| > R}) ist dicht in ℂ für alle R > 0. (4)

34. Entwickle die gegebenen Funktionen jeweils in eine Laurentreihe um z_{0}, die im angegebenen Bereich konvergiert.

(a) z^{−3} sin (\frac{1}{z}) (z_{0} = 0) für |z| > 0.

(b) \frac{1}{1 + z^{2}} (z_{0} = 0) für |z| > 1.

(c) \frac{z}{(1 + z)^{3}} (z_{0} = −1) für |1 + z| > 0. (4)

35. Klassifiziere alle isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen und berechne jeweils die Residuen.

(a) z^{−3} sin (\frac{1}{z}).

(b) \frac{e^{iz}}{z^{2} + 9} .

(c) \frac{cos(2z)}{(z − 1)^{3}} .

(d) \frac{tan z}{z} .

(e) \frac{1 + tan^{2} z}{tan z} .

(f) \frac{1}{e^{\frac{1}{z}} − 1} . (6)