Werner Kratz Sommersemester 2006 Markus Wahrheit 10.07.2006

Blatt 9

Übungen zur Analysis IV

Abgabe und Besprechung: Montag, den 17.07.2006

36. Es sei z_{0} eine isolierte Singularität von f. Zeige:

Res(f′; z_{0}) = 0.

(2)

37. Berechne mit Hilfe des Residuensatzes die folgenden komplexen Kurvenintegrale.

(a) ∮_{|z|=2} z^{−3} sin (\frac{1}{z}) dz.

(b) ∮_{|z|=4} \frac{e^{iz}}{z^{2} + 9} dz.

(c) ∮_{|z|=2} \frac{1}{(z − 3)(z^{13} − 1)} dz.

(d) ∮_{|z|=10} \frac{z^{3}}{z^{4} − 1} dz.

(e) ∮_{|z+n|=1/2} Γ(z) dz mit n ∈ ℕ_{0}.

(f) ∮_{|z|=1} z^{n} exp(\frac{2}{z}) dz mit n ∈ ℕ_{0}. (9)

38. Berechne die folgenden uneigentlichen Integrale.

(a) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{x^{4} + 5x^{2} + 6} dx.

(b) ∫_{0}^{∞} \frac{dx}{(x^{2} + a^{2})(x^{2} + b^{2})} mit a, b > 0.

(c) ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{(x^{2} + 1)^{n}} dx mit n ∈ ℕ.

(d) ∫_{0}^{∞} \frac{x sin(ax)}{x^{2} + b^{2}} dx mit a > 0, b ≥ 0. (5)

39. Zeige:

∫_{−∞}^{∞} e^{−t^{2}} dt = \sqrt{π}.

Hinweis: Integriere die Funktion f(z) := \frac{exp(−z^{2})}{1+exp(−2az)} mit a := \sqrt{π} exp(π \frac{i}{4}) längs des Parallelograms gemäß der nachstehenden Skizze. Führe den Grenzübergang für R → ∞ durch. Benutze die Identität f(z) − f(z + a) = exp(−z^{2}).

−R  R −R + a  R + a iℝ  ℝ (4)

40. (*) Zeige:

∫_{−∞}^{∞} \frac{dx}{1 + x^{2n}} = \frac{π}{n} (sin (\frac{π}{2n}))^{−1} für n ∈ ℕ.