Werner Kratz Sommersemester 2006 Markus Wahrheit 10.07.2006

Probeklausur 1

Übungen zur Analysis IV

Besprechung: Montag, den 24.07.2006

100% = 100 Punkte

Zum Erwerb des Scheins sind - neben mind. 50% der Übungspunkte - mind. 50 Punkte in der Klausur zu erreichen.

Hilfsmittel: 2 DIN A4 Blätter mit eigenen Aufzeichnungen, kein Taschenrechner.

Zeit: 120 Minuten.

1. Schreibe die folgenden Funktionen f(z) : ℂ → ℂ (z = x + iy ∈ ℂ) in der Form u + iv mit expliziten Formeln für die reellwertigen Funktionen u(x, y) und v(x, y).

z^{2} − 2z + 1, exp(πz), z\overline{z}.

Überprüfe jeweils mittels der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen die komplexe Differenzierbarkeit und berechne im Falle der Existenz f′(z). Für welche z ∈ ℂ ist f(z) holomorph? (20)

2. (a) Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs (nicht geschlossener) Kurven α in ℂ.

(i) ∫_{α} z sin z dz, α(t) = t + it(t − π/2), t ∈ [0, π/2].

(ii) ∫_{α} \overline{z}(1 + 2z) dz, α(t) = exp(it), t ∈ [0, π].

(iii) ∫_{α}(z − i)^{2} dz, α(t) = t + i(1 + sin t), t ∈ [0, 2π].

(9)

(b) Berechne die folgenden komplexen Kurvenintegrale längs geschlossener Kurven α in ℂ mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes bzw. mit Hilfe der Cauchyschen Integralformel.

(i) ∮_{|z|=1} \frac{cos(2z)}{z} dz. (ii) ∮_{|z−3|=1} \frac{log z}{(z − e)^{2}} dz. (iii) ∮_{|z|=2} z cot z dz.

(6)

3. Entwickle folgende Funktionen, wenn möglich, in eine Potenzreihe um z_{0} und gebe jeweils deren Konvergenzradius an.

\begin{matrix}(a) \frac{1}{1 − z^{2}} , z_{0} = 0. & (b) \frac{2z}{(1 − z^{2})^{2}} , z_{0} = 0. \\ (c) z\overline{z}, z_{0} = 1. & (d) cos^{2} z, z_{0} = 0. \end{matrix}

4. Es sei f eine ganze Funktion mit f(z) = f(z + 1) = f(z + i) für alle z ∈ ℂ. Zeige: f ist konstant in ℂ. (10)

5. (a) Klassifiziere alle isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen und berechne jeweils die Residuen. Bestimme in einem Falle eine Laurentreihe um die isolierte Singularität.

(i) z^{2} exp(1/z).

(ii) \frac{exp(πz)}{z^{2} + 4}.

(iii) (exp(i/z) − 1)^{−1}.

(iv) \frac{exp(z) − 1}{z}. (18)

(b) Berechne mit Hilfe des Residuensatzes die folgenden komplexen Kurvenintegrale.

(i) ∮_{|z|=3} \frac{exp(iπz)}{z^{2} − 4} dz. (ii) ∮_{|z|=10} \frac{10z^{9}}{1 + z^{10}} dz.

(5)

(c) Berechne die folgenden uneigentlichen Integrale.

(i) ∫_{−∞}^{∞} \frac{x^{2}}{1 + x^{4}} dx. (ii) ∫_{−∞}^{∞} \frac{cos x}{9 + x^{2}} dx.

(10)

6. Entscheide, ob folgende Aussagen richtig oder falsch sind. Kreuze auf dem zugehörigen Beiblatt entsprechend an.

Achtung! Die Punkte für diese Aufgabe werden wie folgt vergeben:

richtig angekreuzt 2 Punkte
nicht angekreuzt 0 Punkte
falsch angekreuzt -2 Punkte

Bei negativem Punktesaldo werden für diese Aufgabe 0 Punkte vergeben.

(a) Eine in einer offenen Menge D ⊂ ℂ komplex differenzierbare Funktion ist dort unendlich oft komplex differenzierbar.

(b) Die punktierte Einheitskreisscheibe ist ein Elementargebiet.

(c) Die Funktion log(1 − z) besitzt im Punkte z_{0} = 1 eine isolierte Singularität.

(d) Für eine in einem Sterngebiet holomorphe Funktion ist das Kurvenintegral über diese Funktion dort wegunabhängig.

(e) Jede auf einer kompakten Kreisscheibe \overline{U_{r}(z_{0})} (r > 0) stetige Funktion ist dort der gleichmäßige Grenzwert einer Folge von Polynomen.

(f) Jede in einer Kreisscheibe U_{r}(z_{0}) (r > 0) holomorphe Funktion ist um den Mittelpunkt z_{0} in eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius entwickelbar.