Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 14.04.2005

Blatt 1

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 21.04.2005

1. Überprüfe, ob die gegebenen Mengen zusammen mit den angegebenen Verknüpfungen Gruppen bilden.

(a) (ℝ^{2}, +) mit (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) := (\begin{matrix}x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{matrix}) für (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) , (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}.

(b) (ℝ^{2}, ·) mit (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) · (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) := (\begin{matrix}x_{1} · y_{1} \\ x_{2} · y_{2} \end{matrix}) für (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) , (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}.

(c) G := {e, a, b} mit einer Verknüpfung "·" gemäß folgender Verknüfpungstafel:

\begin{matrix}· & e & a & b \\ e & e & a & b \\ a & a & e & a \\ b & b & a & e. \end{matrix}

(6)

2. Es sei M eine nichtleere Menge. Auf der Potenzmenge P(M) von M, d.h. auf P(M) := {N|N ⊂ M}, wird folgende Verknüfung (die so genannte symmetrische Differenz) definiert:

A △ B := (A \ B) ∪ (B \ A) für A, B ∈ P(M).

Zeige, dass P(M) versehen mit der Verknüpfung △ eine abelsche Gruppe bildet. (6)

3. Gegeben seien die Gerade

g = \{(\begin{matrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix}1 \\ −3 \\ 2 \end{matrix})| λ ∈ ℝ\} ⊂ ℝ^{3}

und die Ebene

E = \{(\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) + λ (\begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}) + μ (\begin{matrix}−2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix})| λ, μ ∈ ℝ\} ⊂ ℝ^{3}.

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E. (4)

4. Zeige vektoriell, dass sich die Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem Punkt und jeweils im Verhältnis 2:1 schneiden. (4)