Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 21.04.2005

Blatt 2

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 28.04.2005

5. (a) Berechne den Real- und Imaginärteil folgender komplexer Zahlen:

(2 + 3i)(2 − 3i), (1 − i)^{3} − (1 + i)^{3}, \frac{2 − i}{1 + i}, i^{2005}, \frac{1 + λi}{1 − λi} mit λ ∈ ℝ.

(b) Es seien w, z ∈ ℂ zwei komplexe Zahlen. Zeige die Parallelogrammgleichung

|z + w|^{2} + |z − w|^{2} = 2|z|^{2} + 2|w|^{2}.

(*) Erläutere den Namen dieser Gleichung in der Gauß’schen Zahlenebene.

(c) Zeige, dass

z = (\sqrt{|z|} \frac{z + |z|}{|z + |z||})^{2} für alle z ∈ ℂ \ (−∞, 0].

(6+2)

6. Es seien die folgenden Verknüfpungen für x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}, λ ∈ ℝ definiert:

(a)

\begin{aligned}(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) & := & (\begin{matrix}x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} + 1 \end{matrix}) , \\ λ · (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) & := & (\begin{matrix}λx_{1} \\ λx_{2} + λ − 1 \end{matrix}) . \end{aligned}

(b)

\begin{aligned}(\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix}) & := & (\begin{matrix}x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \end{matrix}) , \\ λ · (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) & := & (\begin{matrix}λx_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) . \end{aligned}

Überprüfe jeweils, ob ℝ^{2} mit den obigen Verknüpfungen + und · einen Vektorraum über ℝ bildet. (5)

7. Es sei V ein Vektorraum über K und für eine nichtleere Teilmenge U ⊂ V gelte (i) a + b ∈ U für alle a, b ∈ U, sowie (ii) αa ∈ U für alle a ∈ U und alle α ∈ K. Zeige, dass U ein Vektorraum über K ist. (4)

8. Es sei K ein Körper.

(a) Entscheide jeweils, ob V ein Vektorraum über K ist.

(i) V = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}| x − y = 0\}.

(ii) V = \{(\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}) ∈ ℝ^{2}| x^{2} − y^{2} = 0\}.

(b) Für welche α ∈ K ist V_{α} ein Vektorraum über K? V_{α} = {f : K → K| f(1) = α} .