Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 28.04.2005

Blatt 3

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 12.05.2005

9. Es seien U_{1}, U_{2} ⊂ V Unterräume eines Vektorraums V. Zeige: U = U_{1} ∪ U_{2} ist genau dann ein Unterraum von V, falls U_{1} ⊂ U_{2} oder U_{2} ⊂ U_{1} gilt. (4)

10. Untersuche die folgenden Familien T_{ν}, ν = 1, …, 6, auf lineare Unabhängigkeit im jeweils angegebenen Vektorraum.

(a) T_{1} = \{(\begin{matrix}1 + i \\ 0 \\ i \end{matrix}) , (\begin{matrix}3 − i \\ 0 \\ 2 + i \end{matrix})\} ⊂ ℂ^{3},

(b) T_{2} = \{(\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix})\} ⊂ ℝ^{3},

(c) T_{3} = \{(\begin{matrix}1 − 4i \\ 1 + 2i \\ i \end{matrix}) , (\begin{matrix}4 − i \\ 2 − i \\ 1 + i \end{matrix}) , (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})\} ⊂ ℂ^{3},

(d) T_{4} = T_{1} ∪ \{(\begin{matrix}1 \\ 1 + i \\ −i \end{matrix})\} ⊂ ℂ^{3},

(e) T_{5} = T_{2} \ \{(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix})\} ⊂ ℝ^{3},

(f) T_{6} = \{(\begin{matrix}9 \\ λ \end{matrix}) , (\begin{matrix}λ \\ 1 \end{matrix})\} ⊂ ℝ^{2} in Abhängigkeit des Parameters λ ∈ ℝ. (5)

11. Es sei der Vektorraum V = {f : ℕ_{0} → ℝ} über ℝ gegeben. Weiterhin seien U = {f ∈ V |f(n + 2) = f(n) + f(n + 1) für alle n ∈ ℕ_{0}} und f_{1}, f_{2} ∈ V mit f_{1}(n) := (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} und f_{2}(n) := (\frac{1−\sqrt{5}}{2})^{n} für n ∈ ℕ_{0} gegeben.

(a) Zeige, dass U ein Unterraum von V ist und f_{1}, f_{2} ∈ U gilt.

(b) Zeige, dass f_{1} und f_{2} linear unabhängig sind.

(c) Bestimme f ∈ U mit f(0) = f(1) = 1 (Fibonacci-Folge).

(d) Zeige, dass es für α_{0}, α_{1} ∈ ℝ genau ein f ∈ U mit f(0) = α_{0} und f(1) = α_{1} gibt, und dieses ist gegeben durch f = \frac{1}{\sqrt{5}} (α_{1} − α_{0} \frac{1−\sqrt{5}}{2}) f_{1} + \frac{1}{\sqrt{5}} (α_{0} \frac{1+\sqrt{5}}{2} − α_{1}) f_{2}.

(e) Zeige, dass f_{1} und f_{2} eine Basis von U bilden. (9)

12. Das rechteckige Zahlenschema bestehend aus drei Zeilen und drei Spalten

A = (\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

mit a_{μν} ∈ ℝ, 1 ≤ μ, ν ≤ 3, heißt magisches Quadrat, wenn ihre Zeilensummen, Spaltensummen und Summen der Diagonalen gleich, etwa gleich s ∈ ℝ, sind, d.h. falls

s = ∑_{ρ=1}^{3} a_{ρν} = ∑_{ρ=1}^{3} a_{μρ} = ∑_{ρ=1}^{3} a_{ρρ} = ∑_{ρ=1}^{3} a_{ρ,4−ρ} für alle μ, ν ∈ {1, 2, 3}.

(a) Berechne ein magisches Quadrat mit s = 15.

(b) Zeige, dass die Menge M aller magischen Quadrate einen Vektorraum über ℝ bildet.

Hinweis: Verwende die Tatsache, dass ℝ^{3×3} ein Vektorraum über ℝ ist.

(c) Zeige, dass zu beliebig vorgegebenen a, b, c ∈ ℝ genau ein magisches Quadrat der Form

(\begin{matrix}a & · & b \\ · & c & · \\ · & · & · \end{matrix})

existiert.

(d) Bestimme eine Basis von M. (6)

13. Es sei V ein Vektorraum über ℝ und T = {a_{1}, …, a_{n}} ⊂ V eine Basis von V. Wir definieren a_{n+1} := − ∑_{ν=1}^{n} a_{ν}. Zeige: Jeder Vektor a ∈ V besitzt eine eindeutige Darstellung der Form

a = ∑_{ν=1}^{n+1} α_{ν}a_{ν} mit α_{1}, …, α_{n+1} ∈ ℝ und ∑_{ν=1}^{n+1} α_{ν} = 0.