Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 19.05.2005

Blatt 5

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 02.06.2005

19. (a) Berechne jeweils den Rang und die Dimension des Kerns folgender Matrizen:

\begin{aligned}A & = & ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}) , & B & = & (\begin{matrix}1 & 3 & 2 & −2 \\ −1 & −2 & −7 & 1 \\ 2 & −2 & 44 & 4 \\ 1 & 3 & 2 & −2 \end{matrix}) , \\ C & = & ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & −1 & −5 \\ 1 & −1 & 1 \end{matrix}) , & D & = & ( \begin{matrix}1 & 1 & −3 \\ 2 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & −3 \end{matrix}) . \end{aligned}

(b) Entscheide, ob folgende Matrizen regulär sind und berechne gegebenenfalls ihre Inverse.

(i) ( \begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{matrix}) (ii) (\begin{matrix}1 & −1 & 2 & 1 \\ 3 & −2 & −2 & 3 \\ 2 & −7 & 44 & 2 \\ −2 & 1 & 4 & −2 \end{matrix}) (iii) (\begin{matrix}λ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ \end{matrix}) , λ ∈ ℝ.

(7)

20. Berechne jeweils alle Lösungen folgender linearer Gleichungssysteme:

(i)

\begin{aligned}x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 2 \\ −x_{1} & + & x_{2} & + & 2 x_{3} & = & −1 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & 4 x_{3} & = & 7. \end{aligned}

(ii)

\begin{aligned}x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 2 x_{3} & − & 2 x_{4} & = & 2 \\ −x_{1} & − & 2 x_{2} & − & 7 x_{3} & + & x_{4} & = & −2 \\ 2 x_{1} & − & 2 x_{2} & + & 44 x_{3} & + & 4 x_{4} & = & 4 \\ x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 2 x_{3} & − & 2 x_{4} & = & 2. \end{aligned}

(iii)

\begin{aligned}x_{1} & + & x_{2} & − & 3 x_{3} & = & −1 \\ 2 x_{1} & + & x_{2} & − & 2 x_{3} & = & 1 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 3 \\ x_{1} & + & 2 x_{2} & − & 3 x_{3} & = & 1. \end{aligned}

21. Es seien K ein Körper und m, n ∈ ℕ. Zeige: Für A, B ∈ K^{m×n} gilt stets Rang(A + B) ≤ Rang A + Rang B. (3)

22. Gegeben seien A ∈ ℝ^{m×n}, m, n ∈ ℕ. Zeige:

(a) Für x ∈ ℝ^{n} gilt:

(i) x^{T}x = 0 genau dann, wenn x = 0, und (ii) A^{T}Ax = 0 genau dann, wenn Ax = 0.

(b) Rang A^{T}A = Rang A.

(c) ℝ^{m} = Im A ⊕ Kern A^{T}. (6)

23. (*) (Interpolation) Die folgende Aussage setzen wir als bekannt voraus: Es sei P ein Polynom vom Grade ≤ n mit reellen Koeffizienten, d.h. P (x) = ∑_{ν=0}^{n} a_{ν}x^{ν}, n ∈ ℕ_{0}, a_{0}, …, a_{n} ∈ ℝ. Wenn P mehr als n Nullstellen besitzt, so ist P das Nullpolynom. Es seien x_{0}, …, x_{n} ∈ ℝ paarweise verschieden, sowie y_{0}, …, y_{n} ∈ ℝ gegeben. Zeige:

(a) Es gibt genau ein Polynom vom Grade ≤ n mit reellen Koeffizienten, so dass

gilt

P (x_{ν}) = y_{ν} für alle ν = 0, …, n.  (†)

(b) Die so genannte von der Mondesche Matrix

A := (x_{μ}^{ν}) = (\begin{matrix}1 & x_{0} & x_{0}^{2} & … & x_{0}^{n} \\ 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & … & x_{1}^{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & … & x_{n}^{n} \end{matrix}) ∈ ℝ^{(n+1)×(n+1)},

ist regulär.

Hinweis: Interpretiere (†) als ein geeignetes lineares Gleichungssystem. (6)

Bitte beachten: Die erste Klausur zur Linearen Algebra findet am 27.05.2005 pünktlich um 16.00 Uhr statt. Verteilt Euch bitte auf die Hörsäle gemäß folgender Tabelle:

Anfangsbuchstabe(n) des Nachnamens Hörsaal
A-K  H22
L-Sch  H1
Se - Z  H3.