Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 02.06.2005

Blatt 6

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 09.06.2005

24. Es seien V, W Vektorräume über K und F ∈ L(V, W). Zeige, dass

(a) F genau dann injektiv ist, wenn Kern F = {0} gilt.

(b) F genau dann surjektiv ist, wenn Rang F = dim W gilt, sofern dim W endlich ist.

(c) dim W < dim V impliziert, dass F nicht injektiv, und dim V < dim W impliziert, dass F nicht surjektiv ist. (4)

25. Es sei Π_{n} := {p : ℝ → ℝ | p(x) = ∑_{ν=0}^{n} a_{ν}x^{ν}, a_{0}, …, a_{n} ∈ ℝ}, sowie

F (p) = ∑_{ν=1}^{n} νa_{ν}x^{ν−1} für p ∈ Π_{n}.

(a) Zeige, dass F ein linearer Operator auf Π_{n} ist.

(b) Berechne die Matrixdarstellung A = A(F, B) von F bezüglich der Basis B = {1, x, …, x^{n}} von Π_{n}. (4)

26. Berechne für folgende Permutationen σ und τ ∈ S_{5} jeweils σ ∘ τ, τ ∘ σ, die Inversionen von σ und τ, sign(σ), sign(τ), sign(σ ∘ τ), und stelle σ und τ als Produkt von Transpositionen dar.

σ = (4 1 2 5 3) , τ = (5 3 1 4 2) .

(4)

27. Berechne die Determinante folgender Matrizen.

(\begin{matrix}2 & 1 & 3 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & −2 & 2 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 2 & −1 & 2 \\ −1 & 0 & −2 \end{matrix} ) .

(4)

28. Es seien A ∈ ℂ^{n×n}, n ∈ ℕ, α ∈ ℂ. Zeige:

(a) det(αA) = α^{n} det A.

(b) det A = 0, falls n ungerade und A schiefsymmetrisch ist, d.h. A = −A^{T}. (4)