Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 09.06.2005

Blatt 7

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 16.06.2005

29. Es seien

A := ( \begin{matrix}1 & 2 & 2 \\ 1 & −3 & 7 \\ 2 & 0 & 4 \end{matrix} ) , B := (\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 9 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{matrix}) , C := (\begin{matrix}1 & 2 & 0 & 2 \\ −1 & 3 & 1 & −2 \\ 2 & 0 & 0 & 4 \\ 1 & −3 & 0 & 7 \end{matrix} ) .

(a) Berechne alle algebraischen Komplemente der Matrix A.

(b) Berechne die Inverse der Matrix A mittels der Cramerschen Regel.

(c) Berechne die Determinanten der Matrizen A, B und C.

(d) Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems

x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} = 9
x_{1} − 3x_{2} + 7x_{3} = 4
2x_{1}  + 4x_{3} = 6.

mittels der Cramerschen Regel. (8)

30. Es sei A ∈ ℤ^{n×n} regulär. Zeige, dass A^{−1} ∈ ℤ^{n×n} genau dann ist, wenn det A = ±1 gilt. (4)

31. Es seien

f_{n} := det (\begin{matrix}1 & i & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ i & 1 & i & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & i & 1 & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & 1 & i \\ 0 & 0 & 0 & ⋯ & i & 1 \end{matrix}) ∈ ℂ^{n×n}, n ∈ ℕ.

Ferner setzen wir f_{0} := 1. Zeige, dass f_{n} = f_{n−1} + f_{n−2} für alle n ≥ 2 gilt und bestimme f_{n} explizit für alle n ∈ ℕ_{0}. (5)

32. Es seien A ∈ ℝ^{n×n}, n ∈ ℕ. Zeige, dass < ·, · >: ℝ^{n} × ℝ^{n} → ℝ definiert durch < x, y >:= x^{T}A^{T}Ay genau dann ein Skalarprodukt in ℝ^{n} ist, wenn A regulär ist. (3)

33. (*) Beweise den folgenden Satz aus der Vorlesung: Für A ∈ K^{m×n} gilt Rang A = r, falls A eine r-reihige Unterdeterminante ungleich Null besitzt und falls im Falle r < min{m, n} alle (r +1)-reihigen Unterdeterminanten von A gleich Null sind. (5)