Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 16.06.2005

Blatt 8

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 23.06.2005

34. (a) Wende das Orthonormalisierungsverfahren von Gram-Schmidt auf folgende Vektoren an:

(i)

(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}−2 \\ 0 \\ 8 \\ 6 \end{matrix} ) ∈ ℝ^{4} mit < x, y >= x^{T}y für x, y ∈ ℝ^{4}.

(ii) 1, x, x^{2} mit dem Skalarprodukt < f, g >= ∫_{0}^{1} f(x)g(x)dx für (stetige) Funktionen f und g.

(b) Berechne jeweils das dreidimensionale Volumen des von den drei Vektoren aus Teil (a)(i), bzw. (a)(ii), aufgespannten Parallelepipeds. (6)

35. Es sei U ein Unterraum eines Euklidischen oder unitären Raumes V und es sei W ⊂ V. Zeige, dass

W ⊥U genau dann, wenn W ⊥T für eine Basis T von U.

(3)

36. (Satz des Pythagoras).

Es sei V ein Euklidischer oder unitärer Raum. Zeige:

(a)

∥a + b∥^{2} = ∥a∥^{2} + ∥b∥^{2} für a, b ∈ V mit a⊥b.

(b)

∥ ∑_{ν=1}^{n} a_{ν}∥^{2} = ∑_{ν=1}^{n} ∥a_{ν}∥^{2},

falls T = {a_{1}, …, a_{n}} ein Orthogonalsystem in V ist. (3)

37. Wir betrachten ℂ^{n} mit dem kanonischen Skalarprodukt < x, y >= \overline{x}^{T}y für x, y ∈ ℂ^{n}.

(a) Zeige, dass für jeden Unterraum U von ℂ^{n} genau eine Matrix P_{U} ∈ ℂ^{n×n}, der so genannte orthogonale Projektor auf U , existiert mit P_{U}x = u, wobei x = u+v, u ∈ U, v ∈ U^{⊥}, die eindeutige Zerlegung von x bezüglich der direkten Summe ℂ^{n} = U ⊕ U^{⊥} ist.

Hinweis: Fasse P_{U} als Matrixdarstellung einer geeigneten linearen Abbildung auf.

Zeige ferner, dass P_{U}^{2} := P_{U}P_{U} = P_{U} und P_{U}^{∗} := \overline{P} _{U}^{T} = P_{U}.

Hinweis: Zeige, dass \overline{x}^{T}P_{U}^{∗}y = \overline{x}^{T}P_{U}y für alle x, y ∈ ℂ^{n} gilt.

(b) Zeige: Falls P ∈ ℂ^{n×n} eine Matrix mit P^{2} = P und P^{∗} = P ist, so ist P der orthogonale Projektor auf U = Im P.

(c) Es seien P_{1}, P_{2} die orthogonalen Projektoren auf Unterräume U_{1} und U_{2} von ℂ^{n}. Zeige, dass P_{1}P_{2} = P_{1} genau dann gilt, wenn U_{1} ⊂ U_{2} ist. (8)