Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 23.06.2005

Blatt 9

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 30.06.2005

38. Es sei U ein Unterraum eines Euklidischen oder unitären Vektorraumes V. Ferner sei {a_{1}, …, a_{n}} eine Orthonormalbasis von U. Wir definieren die Abbildung F : V → U durch F (x) = ∑_{ν=1}^{n} < a_{ν}, x > a_{ν}. Zeige:

(a) F ist eine lineare Abbildung.

(b) Ist x = u + v mit u ∈ U, v ∈ U^{⊥}, so ist F (x) = u. F beschreibt also die orthogonale Projektion von x auf U, d.h. im Fall V = ℂ^{n} ist F (x) = P_{U}x mit P_{U} gemäß Aufgabe 37.

(c) Für jedes x ∈ V gilt: min_{u∈U} ∥x − u∥ = ∥x − F (x)∥. (5)

39. Es seien die folgenden Matrizen gegeben.

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & −3 & 1 \\ 3 & −3 & −1 \\ 3 & −5 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}2 & −1 & 2 \\ 5 & −3 & 3 \\ −1 & 0 & −2 \end{matrix} ) .

(a) Bestimme für die angegebenen Matrizen jeweils das charakteristische Polynom, die Eigenwerte einschließlich ihrer geometrischen und algebraischen Vielfachheiten, sowie Basen der zugehörigen Eigenräume.

(b) Entscheide, ob die angegebenen Matrizen diagonalisierbar sind. Bestimme gegebenenfalls eine reguläre Matrix S ∈ ℂ^{n×n} so, dass S^{−1}AS eine Diagonalmatrix ist.

(c) Löse die Rekursion a_{n+1} = a_{n} + 2a_{n−1}, n ∈ ℕ, a_{0} = a_{1} = 1 explizit nach a_{n} auf. (8)

40. Es seien A ∈ K^{n×n}, K ein Körper, und σ(A) = {Eigenwerte von A} bezeichne das Spektrum von A. Zeige:

(a) Ist A idempotent, d.h. A^{2} = A, dann gilt σ(A) ⊂ {0, 1}.

(b) A und A^{T} haben dasselbe charakteristische Polynom, also P_{A} = P_{A^{T}}.

(c) σ(A) = σ(A^{T}), d.h. A und A^{T} haben dieselben Eigenwerte. Gilt dies auch für die Eigenvektoren?

(d) A ist genau dann regulär, wenn 0 ∉ σ(A).

(e) Wenn A nilpotent ist, d.h. A^{m} = 0 für ein gewisses m ∈ ℕ, dann folgt σ(A) = {0}. (5)

41. Es seien A, B ∈ K^{n×n}, K ein Körper. Weiterhin sei B regulär. Zeige: (a) AB und BA sind ähnlich.

(b) AB und BA haben dasselbe charakteristische Polynom, also P_{AB} = P_{BA}. (2)

42. (*) Es seien A, B ∈ ℂ^{n×n}. Zeige: P_{AB} = P_{BA}.

Im Gegensatz zur vorangegangenen Aufgabe muss B also nicht notwendigerweise regulär sein. (5)