Werner Kratz Sommersemester 2005 Markus Wahrheit 30.06.2005

Blatt 10

Übungen zur Linearen Algebra

Abgabe und Besprechung: Donnerstag, den 07.07.2005

43. (a) Es seien A = (a_{μν}), B = (b_{μν}) ∈ ℂ^{n×n} unitär ähnlich. Zeige:

∑_{μ,ν=1}^{n} |a_{μν}|^{2} = ∑_{μ,ν=1}^{n} |b_{μν}|^{2}

Hinweis: Betrachte Spur(A^{∗}A).

(b) Die Matrix A ∈ ℂ^{n×n} besitze die Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℂ einschließlich algebraischer Vielfachheiten. Zeige, dass A genau dann normal ist, wenn

∑_{μ,ν=1}^{n} |a_{μν}|^{2} = ∑_{ν=1}^{n} |λ_{ν}|^{2}.

(5)

44. Es sei A ∈ ℂ^{n×n} positiv definit. Zeige, dass A regulär und ihre Inverse ebenfalls positiv definit ist. (3)

45. Bestimme für folgende quadratische Formen die zugehörige symmetrische Matrix A ∈ ℝ^{2×2}, bzw. A ∈ ℝ^{3×3}, und untersuche auf Definitheit (mit quadratischem Ergänzen).

(a) q_{A}(x, y) = x^{2} − 2xy.

(b) q_{A}(x, y) = −4x^{2} + 12xy − 9y^{2}.

(c) q_{A}(x, y, z) = x^{2} + 2y^{2} + 3z^{2} − 4xy − 4yz.

(d) q_{A}(x, y, z) = 2x^{2} + 5y^{2} + 5z^{2} + 4xy − 4xz − 8yz. (4)

46. Führe für folgende Matrizen A die Hauptachsentransformation durch (d.h. berechne U ∈ ℂ^{n×n}, λ_{1}, …, λ_{n} ∈ ℝ, mit U^{∗} = U^{−1} und U^{−1}AU = diag(λ_{ν})), und untersuche die Matrizen ferner auf Definitheit, sofern jeweils möglich.

(\begin{matrix}1 & −1 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) , (\begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{matrix}) , (\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}) , (\begin{matrix}−2 & 8 & 4 \\ −8 & −2 & 1 \\ −4 & −1 & −1 \end{matrix} ) .

47. (*) (Wurzel und Polarenzerlegung einer Matrix).

(a) Es sei A ∈ ℂ^{n×n} positiv semidefinit. Zeige: Es gibt genau eine Matrix B ∈ ℂ^{n×n} mit B^{∗} = B, B^{2} = A, und B ist positiv semidefinit. (B =: \sqrt{A}).

Hinweis: Hauptachsentransformation.

(b) Es sei S ∈ GL(n; ℂ). Zeige: Es gibt genau eine positiv definite Matrix P und genau eine unitäre Matrix U mit S = UP.

Hinweis: Benutze Teil (a) mit P = \sqrt{S^{∗}S}. (8)