Eigenschaften multivariater Verteilungsfunktionen

1. Asymptotisches Verhalten im Unendlichen:$\;$ Für beliebige $i\in\{1,\ldots,n\}$ und $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$ gilt
   (i) $F_X(x_1,\ldots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\ldots,x_n)=0$, wobei
   $$F_X(x_1,\ldots,x_{i-1},-\infty,x_{i+1},\ldots,x_n) =\underset{x_i\to-\infty}{\lim} F_X(x_1,\ldots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\ldots,x_n)\,;$$
   (ii) $F_X(\infty,\ldots,\infty)=1$, wobei $F_X(\infty,\ldots,\infty ) =\underset{x_1,\ldots,x_n\to\infty}{\lim }F_X(x_1,\ldots,x_n)$;
   (iii) $F_X(\infty,\ldots,\infty,x_i,\infty,\ldots,\infty) =F_{X_i}(x_i)$, wobei $F_X(\infty,\ldots,\infty,x_i,\infty,\ldots,\infty)$ analog zu den in (i)-(ii) betrachteten Grenzwerten definiert wird und $F_{X_i}$ Randverteilungsfunktion von $X$ genannt wird.
2. Monotonie:$\;$ $F_X(x_1+h_1,\ldots,x_n+h_n)\geq F_X(x_1,\ldots,x_n)\; \forall x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R},\; h_1,\ldots,h_n\geq 0$
3. Rechtsstetigkeit:$\;$ $F_X(x_1,\ldots,x_n)= \underset{h_1,\ldots,h_n\downarrow 0}{\lim }F_X(x_1+h_1,\ldots,x_n+h_n)\;\; \forall\, x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}$

Definition 3.8

 

1. Der Zufallsvektor $X=(X_1,\ldots,X_n)$ heißt diskret, falls es eine abzählbare Menge $C\subset\mathbb{R}^n$ gibt, so daß $P(X\in C) =1$.
2. Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein diskreter Zufallsvektor. Dann heißt $\{P(X=x),\, x\in C\}$ Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$.

Beachte

$\;$ Falls $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein diskreter Zufallsvektor ist, dann sind auch seine Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ diskrete Zufallsvariablen. Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion $\{P(X_i=x_i),\, x_i\in C_i\}$ von $X_i$ gilt

$${P(X_i=x_i)}$$

$$= \underset{y_1\in C_1}{\sum}\ldots \underset{y_{i-1}\in C_{i-1}}{\... ...um} P(X_1=y_1,\ldots,X_{i-1}=y_{i-1},X_i=x_i,X_{i+1}=y_{i+1},\ldots,X_n=y_n)\,.$$

Definition 3.9

$\;$ Der Zufallsvektor $X=(X_1,\ldots,X_n)$ heißt absolutstetig, falls es eine (integrierbare) Funktion $f_X:\mathbb{R}^n\to[0,\infty)$ gibt, so daß

$$F_X(x_1,\ldots,x_n)=\int\limits^{x_n}_{-\infty}\ldots \int\limits... ...ldots,y_n)\, dy_{1}\ldots\, dy_n\qquad \forall\, x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}\,.$$ (10)

Die Funktion $f_X$ heißt (gemeinsame) Dichte von $X$.

Beachte

$\;$ Falls $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der Dichte $f_X$ ist, dann sind auch seine Komponenten $X_1,\ldots,X_n$ absolutstetige Zufallsvariablen. Für die Dichte $f_{X_i}:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ von $X_i$ gilt

$$f_{X_i}(x_i)=\underbrace{\int\limits^{\infty}_{-\infty}\ldots \in... ...,x_i,y_{i+1},\ldots,y_n)\, dy_1\,\ldots\, dy_{i-1}\, dy_{i+1}\,\ldots\, dy_n\,.$$ (11)

Definition 3.10

$\;$ Die in (11) betrachtete Funktion $f_{X_i}$ heißt Randdichte von $X$.