Beispiele

1. $n$-maliger Münzwurf
   • Betrachten den in Abschnitt 3.2.1 eingeführten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\mathcal{P}(\Omega ),P)$ mit der Grundmenge
     $$\Omega =\Omega _{1}\times \ldots \times \Omega _{n} =\left\{\omeg... ...a=(\omega _{1},\, \ldots ,\, \omega _{n}),\, \omega _{i}\in \{0,\, 1\}\right\}$$
     und dem Wahrscheinlichkeitsmaß $P$, das durch

     $$P(\{\omega\})=\prod_{i:\omega_i=1}a_{i}\prod_{j:\omega_j=0}(1-a_j)$$ (22)

     
     
     gegeben ist, wobei $0\le a_1,\ldots,a_n\le 1$.
   • Betrachten die Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$, die gegeben seien durch die Projektion $X_i(\omega)=\omega_i$ für $i=1,\ldots,n$.

   • Aus (21) und (22) folgt unmittelbar, daß $X_1,\ldots,X_n$ unabhängige Zufallsvariable sind.
   • Man kann jedoch auch in diesem Modell Zufallsvariablen konstruieren, die nicht unabhängig sind. Sei nämlich $a_1=0.5$, und sei $Y_1:\Omega\to\mathbb{R}$ gegeben durch
     $$Y_1(\omega)=\left\{\begin{array}{cc} 1\,&\mbox{falls $\omega_1=0$}\\ 0\,&\mbox{falls $\omega_1=1$} \end{array}\right.$$

   • Dann sind $X_1$ und $Y_1$ nicht unabhängig, denn es gilt
     $$P(X_1=1,Y_1=1)=0\qquad\neq\qquad P(X_1=1)P(Y_1=1)=\frac{1}{4}\;.$$

2. zweidimensionale Normalverteilung
   • Betrachten zwei unabhängige Zufallsvariable $X_1,X_2$, die standardnormalverteilt sind. D.h.,
     $$f_{X_i}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp\bigl(-\frac{1}{2}x^{2}\bigr) \qquad\forall x\in\mathbb{R};\, i=1,2\,.$$

   • Für die (gemeinsame) Dichte $f_X(x_1,x_2)$ des Zufallsvektors $X=(X_1,X_2)$ gilt
     $$f_X(x_1,x_2)=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2) =\frac{1}{2\pi }\exp \Bigl(-\frac{1}{2}(x^{2}_{1}+x^{2}_{2})\Bigr)\,.$$

   • Man sagt dann, daß auch der Zufallsvektor $X=(X_1,X_2)$ standardnormalverteilt ist.
   • Verallgemeinerung: Sei $\rho\in[0,1)$, und sei $X=(X_1,X_2)$ ein absolutstetiger Zufallsvektor mit der Dichte
     $$f_X(x_1,x_2) =\frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho^2}} \exp \Bigl( -\frac{1... ...1-2\rho x_1x_2 +x^2_2}{1-\rho ^2}\Bigr) \qquad \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}\,.$$

   • Dann gilt für die (Rand-)Dichte $f_{X_1}(x_1)$ von $X_1$
     

     $$f_{X_1}(x_1) = \int\limits ^{\infty }_{-\infty } f_X(x_1,x_2)\, dx_2$$

     $$= \frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho ^2}} \int\limits _{-\infty}^{\infty}\exp \Bigl( -\frac{1}{2} \frac{x^2_{1}-2\rho x_1x_2+x^2_2}{1-\rho ^2}\Bigr) \, dx_2$$

     $$\overset {\textrm{quadratische Ergänzung}}{=} \frac{1}{2\pi \sqrt{1-\rho ^2}}\exp \Bigl( -\frac{1}{2} \frac{x^2... ...ty}\exp \Bigl( -\frac{1}{2}\frac{(x_2 -\rho x_1)^2}{1-\rho ^2}\Bigr) \, dx_2\,.$$

     
     

   • Durch die Substitution
     $$u=\frac{x_2-\rho x_1}{\sqrt{1-\rho^2}}$$   bzw.$$\qquad du=\frac{1}{\sqrt{1-\rho^2}}\, dx_2$$
     ergibt sich also
     $$f_{X_1}(x_1)= \frac{1}{2\pi }\exp \Bigl(-\frac{1}{2}x^2_1\Bigr) \... ..._{=\sqrt{2\pi }} = \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \Bigl(-\frac{1}{2}x^2_1\Bigr)\,.$$

   • Analog gilt
     $$f_{X_2}(x_2)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \Bigl(-\frac{1}{2}x^2_2\Bigr)\,.$$

   • Die Komponenten $X_1,X_2$ des Zufallsvektors $X=(X_1,X_2)$ sind also für jedes $\rho\in[0,1)$ standardnormalverteilt.
   • Beachte jedoch, daß $X_1$ und $X_2$ nur dann unabhängig sind, wenn $\rho=0$. Denn für $\rho>0$ gilt
     $$f_X(x_1,x_2)\neq f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\,.$$