Zusammengesetzte Abbildungen

Beispiel

$\;$ (Klassifikation)

• Manchmal ist es zweckmäßig, die Werte von Zufallsvariablen $X:\Omega\to\mathbb{R}$ zu klassifizieren. Dabei wird der Wertebereich $\mathbb{R}$ von $X$ in $m$ Klassen zerlegt, die wir mit der Menge der ersten $m$ natürlichen Zahlen $\{1,2,\ldots,m\}$ identifizieren.
• Mit anderen Worten: Außer der Zufallsvariablen $X$ betrachten wir noch eine weitere Abbildung $\varphi:\mathbb{R}\to\{1,2,\ldots,m\}$.
• Durch Nacheinanderausführung der Abbildungen $X$ und $\varphi$ ergibt sich dann die Abbildung $\varphi(X):\Omega\to\{1,2,\ldots,m\}$ mit $\varphi(X)(\omega)=\varphi(X(\omega))$, die jedem $\omega \in \Omega$ die Klasse $\varphi(X)(\omega)$ zuordnet.
• Um die Wahrscheinlichkeit bestimmen zu können, daß die Zufallsvariable $X$ Werte in Klasse $i$ annimmt, muß gewährleistet sein, daß

  $$\{\omega:\omega\in\Omega,\varphi(X)(\omega)=i\}\in\mathcal{F}\,.$$ (23)

  
  

• Die Abbildung $\varphi(X)$ muß also die Regularitätseigenschaft einer Zufallsvariablen besitzen, d.h. der Meßbarkeitsbedingung (1) genügen.
• Um dies zu erreichen, wird über die Abbildung $\varphi$ vorausgesetzt, daß $\{x:\, x\in\mathbb{R},\varphi(x)=i\}$ eine Teilmenge von $\mathbb{R}$ aus $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, d.h. eine Borel-Menge ist, für jedes $i=1,2,\ldots,m$.
• Man kann zeigen, daß dann (23) für jedes $i\in\{1,2,\ldots,m\}$ bzw. $\{\omega:\, \omega\in\Omega,\varphi(X)(\omega)\le x\}\in\mathcal{F}$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ gilt, d.h., $\varphi(X)$ ist eine Zufallsvariable.

Beachte

 

• Es interessieren auch Funktionen $\varphi:\mathbb{R}^n\to \{1,2,\ldots,m\}$ von Zufallsvektoren $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$.
• Damit auch in diesem Fall eine Bedingung an $\varphi$ formuliert werden kann, so daß die zusammengesetzte Abbildung $\varphi(X):\Omega\to\{1,2,\ldots,m\}$ eine Zufallsvariable ist, wird die Borel-$\sigma$-Algebra $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ von Teilmengen des $\mathbb{R}^n$ betrachtet.
• Sie ist definiert als die kleinste $\sigma$-Algebra von Teilmengen des $\mathbb{R}^n$, die alle offenen Quader $\times$ $_{i=1}^n(a_i,b_i)$ enthält; $-\infty<a_i<b_i<\infty$. D.h.
  $$\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)=\sigma \Bigl( \underbrace{\{ \mbox{{\La... ..._i,b_i),\,-\infty < a_i < b_i < \infty \} }_{\textrm{Erzeugersystem}}\Bigr)\,.$$

• Die Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ heißt Borel-meßbar, wenn

  $$\{x:\, x\in\mathbb{R}^n, \varphi(x)\leq y\}\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)\qquad \forall y\in\mathbb{R}\,.$$ (24)

  
  

Allgemein gilt für zusammengesetzte Abbildungen

Lemma 3.19

$\;$ Sei $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ ein beliebiger Wahrscheinlichkeitsraum, und $X:\Omega\to\mathbb{R}^n$ sei ein beliebiger Zufallsvektor. Falls $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine Borel-meßbare Abbildung ist, d.h., falls die Bedingung (24) erfüllt ist, dann ist die zusammengesetzte Abbildung $\varphi(X):\Omega\to\mathbb{R}$ mit $\varphi(X)(\omega)=\varphi(X(\omega))$ eine (rellwertige) Zufallsvariable, d.h., es gilt

$$\{\omega :\omega\in\Omega ,\varphi(X)(\omega )\leq z\}\in\mathcal{F} \qquad\forall z\in \mathbb{R}\,.$$

Beispiel

 

• Sei $X=(X_1,\ldots,X_n)$ ein beliebiger Zufallsvektor.
• Betrachten die folgende Abbildung $\varphi:\mathbb{R}^n\to\{0,1,\ldots,m\}$, die als Klassifikation der Werte von $X$ aufgefaßt werden kann.
• Sei $\varepsilon>0$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene Toleranzgrenze.
• Für jedes $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ sei

  $$\varphi(x)=\vert\{(i,j): 1\le i<j\le n, -\varepsilon\le x_i-x_j\le\varepsilon\}\vert\,,$$ (25)

  
  
  d.h., $\varphi(x)$ ist die Anzahl derjenigen Paare von Komponenten $x_i,x_j$ von $x$, die sich um nicht mehr als $\varepsilon$ voneinander unterscheiden.
• Der Wertebereich $\mathbb{R}^n$ von $X$ wird dabei in $m+1={n\choose 2}+1$ Klassen zerlegt.
• Es ist nicht schwierig zu zeigen, daß die in (25) gegebene Abbildung die Regularitätsbedingung (24) erfüllt.

Beachte

 

• Außerdem kann man zeigen, daß jede stetige Funktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ die Bedingung (24) erfüllt, d.h., jede stetige Funktion ist Borel-meßbar.
• Es ist klar, daß $\varphi$ insbesondere dann stetig ist, wenn $\varphi$ ein Polynom ist, d.h.

  $$\varphi(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=0}^k a_ix^{m_{i1}}_1\ldots x^{m_{in}}_n$$ (26)

  
  
  für ein $k\in\mathbb{N}$ und für gewisse Konstanten $a_0,a_1,\ldots,a_k\in\mathbb{R}$, $m_{i1},\ldots,m_{in}\ge 0$.
• In den folgenden Abschnitten wird eine Reihe von Spezialfällen diskutiert, bei denen $\varphi$ die in (26) gegebene Form hat.