Ereignisse als Mengen

Wir modellieren Ereignisse als Mengen. Dabei ist eine Menge eine Zusammenfassung von wohldefinierten und unterscheidbaren Dingen (Elemente) zu einem Ganzen.

Schreibweise

$\;$ $\Omega$ Grundmenge, $\omega$ Element
$\omega \in \Omega$: $\omega$ ist Element von $\Omega$
$\omega \notin \Omega$: $\omega$ ist nicht Element von $\Omega$
$A=\{a,b,c,\ldots \}$: Die Menge A besteht aus den Elementen $a,b,c,\ldots$
$A=\{\omega :\omega\in\Omega,\; \omega \textrm{ hat Eigenschaft E}\}$: $A$ besteht aus denjenigen Elementen $\omega$ von $\Omega$, die die Eigenschaft E haben.

Beispiel

$\;$ $\Omega=\mathbb{N}$, $A=\{2,4,6,\ldots\} =\{n: n\in\mathbb{N}, n\; \textrm{ist durch 2 teilbar}\}$

Der Vergleich von Ereignissen erfolgt durch den Vergleich der Mengen, durch die die Ereignisse modelliert werden.

Definition 2.1

 

1. $A_{1}\subset A_{2}$ bedeutet, $A_{1}$ ist Teilmenge von $A_{2}$, d.h. aus $\omega \in A_{1}$ folgt $\omega \in A_{2}$
2. $A_{1}=A_{2}$, falls $A_{1}\subset A_{2}$ und $A_{2}\subset A_{1}.$

Betrachten Ereignisse, die bei einem Zufallsexperiment (z.B. Münzwurf, Werfen eines Würfels, Roulette-Spiel, Erzeugen einer Pseudozufallszahl mit einem Zufallszahlengenerator) eintreten können. Dann ist

• $\Omega=$ Menge aller möglichen Versuchsergebnisse (Grundmenge, Grundgesamtheit, Merkmalraum, Stichprobenraum);
• $A_1,A_2\subset \Omega$: Ereignisse = Teilmengen von Versuchsergebnissen mit bestimmten Eigenschaften;
• $\{\omega\}\subset \Omega$: Elementarereignis = ein (einzelnes) Versuchsergebnis;
• Angenommen: bei einem Versuch wird das Ergebnis $\omega$ erzielt. Dann sagen wir: Das Ereignis $A$ tritt ein, falls $\omega\in A$.
• Für $A_1\subset A_2$ gilt: Wenn $A_1$ eintritt, dann tritt auch $A_2$ ein.

Beispiel

(einmaliges Würfeln):$\;$ $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$; Elementarereignisse $\{1\},\{2\},\ldots ,\{6\}$.
Das Ereignis $A_1=\{2\}$ tritt genau dann ein, wenn die Zahl 2 gewürfelt wird.
Das Ereignis $A_2=\{2,4,6\}$ tritt genau dann ein, wenn eine gerade Zahl gewürfelt wird.
Also gilt: $A_1\subset A_2$, d.h., wenn $A_1$ eintritt, dann tritt auch $A_2$ ein.

Definition 2.2

$\;$ Diejenige Teilmenge von $\Omega$, die kein Element enthält, heißt leere Menge und wird mit $\emptyset$ bezeichnet.

Beachte

$\;$ Das Ereignis $\emptyset$ tritt niemals ein und wird deshalb unmögliches Ereignis genannt.