Konfidenzintervalle für die Varianz

Wir leiten nun Konfidenzintervalle für die Varianz $\sigma^2$ her, wobei wir zunächst annehmen, daß der Erwartungswert $\mu$ bekannt ist.

• Weil $(X_i-\mu)/\sigma\sim$ N$(0,1)$, ergibt sich unmittelbar aus der Definition der $\chi ^2$-Verteilung, daß $n\widetilde S^2/\sigma^2$ mit
  $$\widetilde S_n^2=\frac{1}{n}\sum\limits _ {i=1}^n(X_i-\mu)^2$$
  eine $\chi ^2$-verteilte Zufallsvariable mit $n$ Freiheitsgraden ist.
• Für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$ gilt also

  $$P_\theta\Bigl(\chi^2_{n,\alpha_2}\le\frac{n\widetilde S_n^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{n,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (20)

  
  

• Dies ergibt dann das Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\sigma^2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n\widetilde S_n^2}{\chi^2_{n,1-\alpha_1}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{n\widetilde S_n^2}{\chi^2_{n,\alpha_2}}\;.$$ (21)

  
  

Falls der Erwartungswert $\mu$ unbekannt ist, dann läßt sich mit Hilfe der Stichprobenvarianz $S_n^2$ ein Konfidenzintervall für die Varianz $\sigma^2$ konstruieren.

• Aus Theorem 1.11 ergibt sich, daß für beliebige $\alpha_1,\alpha_2\in[0,1/2)$ mit $\alpha_1+\alpha_2=\alpha\in(0,1)$

  $$P_\theta\Bigl(\chi^2_{n-1,\alpha_2}\le\frac{(n-1)S_n^2}{\sigma^2}\le \chi^2_{n-1,1-\alpha_1}\Bigr)=1-\alpha\,.$$ (22)

  
  

• Dies ergibt das Konfidenzintervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ für $\sigma^2$ zum Niveau $\gamma=1-\alpha$ mit

  $$\underline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,1-\alpha_1}} \qquad \overline\theta(X_1,\ldots,X_n)=\frac{(n-1)S_n^2}{\chi^2_{n-1,\alpha_2}}\;.$$ (23)