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Einleitung
- Markov-Ketten sind eine grundlegende Klasse stochastischer Modelle
- für Folgen von Zufallsvariablen, die nicht unabhängig sind, das
heißt, gewisse Abhängigkeitsstrukturen aufweisen.
- Markov-Ketten besitzen zahlreiche Anwendungen in der Finanz-
und Versicherungsmathematik.
- Sie spielen aber auch eine wichtige Rolle bei der mathematischen
Modellierung und Analyse weiterer Problemstellungen mit
sozio-ökonomischer Bedeutung, beispielsweise in den Lebenswissenschaften.
- Oftmals sind jedoch die interessierenden Fragestellungen und damit
auch die entsprechenden mathematischen Modelle so komplex, dass
sie nicht ausschließlich mit analytischen Formeln untersucht
werden können.
- Markov-Ketten bieten dann ein alternatives Analyse-Tool, und zwar
im Zusammenhang mit der Konstruktion von Computer-Algorithmen zur Markov-Chain-Monte-Carlo-Simulation
(MCMC) der betrachteten mathematischen Modelle.
- Die Vorlesung ,,Markov-Ketten und Monte-Carlo-Simulation''
vertieft Methoden und Modelle, die in der Vorlesung
,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' behandelt wurden. Kenntnisse aus
den Vorlesungen ,,Statistik I'' bzw. ,,Statistik II'' sind
nützlich, werden jedoch nicht vorausgesetzt.
- Schwerpunkte der Vorlesung sind die folgenden Themen:
- Markov-Ketten mit diskreter Zeit und endlichem Zustandsraum
- Stationarität und Ergodizität
- Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC)
- Reversibilität und Kopplungsalgorithmen
- Dabei werden wir insbesondere Begriffe und Ergebnisse nutzen,
die in der Vorlesung ,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' eingeführt
worden sind, vgl. das Skript zur Vorlesung
,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' im Wintersemester 2001/02:
- Verweise auf dieses Vorlesungsmanuskript werden wir mit dem Zusatz
,,WR'' vor der Nummer der zitierten Abschnitte, Lemmata, Theoreme,
Korollare bzw. Formeln kennzeichnen.
- Die folgende Liste von einführenden Lehrbüchern umfasst lediglich
eine kleine Auswahl von Texten, die neben dem Vorlesungsmanuskript
für ein ergänzendes und vertiefendes Studium empfohlen werden
können.
- D. Aldous, J.A. Fill (2002)
Reversible Markov Chains and Random Walks on Graphs.
Buchmanuskript
- E. Behrends (2000)
Introduction to Markov Chains. Vieweg, Braunschweig
- P. Bremaud (1999)
Markov Chains, Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and
Queues. Springer, New York
- B. Chalmond (2003)
Modeling and Inverse Problems in Image Analysis.
Springer, New York
- O. Häggström (2002)
Finite Markov Chains and Algorithmic Applications.
Cambridge University Press, Cambridge
- U. Krengel (2002)
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und
Statistik. Vieweg, Braunschweig
- S.I. Resnick (1992)
Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser, Boston
- T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, J. Teugels (2002)
Stochastic Processes for Insurance and Finance.
Wiley, Chichester
- H. Thorisson (2002)
Coupling, Stationarity, and Regeneration. Springer, New York
- G. Winkler (2003)
Image Analysis, Random Fields and Markov Chain Monte Carlo
Methods. Springer, Berlin
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Ursa Pantle
2003-09-29