Lagemaßzahlen

In diesem Abschnitt betrachten wir eine spezielle Klasse von Kenngrößen der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$, sogenannte Maßzahlen, die die Lage der Daten beschreiben und die kurz Lagemaßzahlen genannt werden.

1. Stichprobenmittel 
   • Wir betrachten zunächst die Stichprobenfunktion $\varphi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

     $$\varphi(x_1,\ldots,x_n)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\,,$$ (2)

     
     
     d.h., wir betrachten das arithmetische Mittel $\overline x_n=(x_1+\ldots+x_n)/n$ der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$.

     
     

   • Die Zahl $\overline x_n$ wird Stichprobenmittel der (konkreten) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$ genannt.

     
     

   • Beispiel 
     • Während eines bestimmten Zeitraumes verkauften die 8 Angestellten der Abteilung ,,Lebensversicherungen'' eines Versicherungsunternehmens jeweils die folgenden Anzahlen von Lebensversicherungsverträgen: 9, 12, 5, 13, 7, 11, 24, 11.
     • Wir fassen diese Daten als Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_8$ einer Stichprobe vom Umfang $n=8$ auf.
     • Das Stichprobenmittel $\overline x_8$ dieser Stichprobe beträgt
       $$\overline x_8=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^8 x_i= \frac{9+12+5+13+7+11+24+11}{8}=11.5\,,$$
       d.h., im Mittel wurden von den Angestellten jeweils 11.5 Verträge während des betrachteten Zeitraumes verkauft.
   • Beachte 
     • In der obenbetrachteten Beispiel-Stichprobe ist die maximale Anzahl der abgeschlossenen Verträge um mehr als 10 Verträge größer als die zweitgrößte Anzahl.
     • Streicht man den Maximalwert 24 aus dieser Stichprobe, so verändert sich das Stichprobenmittel $\overline x_8=11.5$ zu $\overline x_7=9.7$.
     • Das Stichprobenmittel reagiert also offensichtlich ,,empfindlich'' auf extreme Werte, sogenannte Ausreißer, in den Daten.
   • Weitere Eigenschaften des Stichprobenmittels 
     • Es gilt stets

       $$\sum_{i=1}^n (x_i-\overline x_n)=0\,,$$ (3)

       
       
       d.h., das Stichprobenmittel $\overline x_n$ lässt sich als Schwerpunkt der Daten $x_1,\ldots,x_n$ interpretieren.
     • Außerdem kann man zeigen, dass das Stichprobenmittel $\overline x_n$ die Summe der quadratischen Abweichungen
       $$e(z;x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n (x_i-z)^2$$
       minimiert, d.h., es gilt
       $$e(\overline x_n;x_1,\ldots,x_n)=\min\limits_{z\in\mathbb{R}}e(z;x_1,\ldots,x_n)\,.$$

   
   

2. Stichprobenmedian
   • Lagemaßzahlen, die den Einfluss von Extremwerten begrenzen, heißen resistent oder robust. Eine derartige robuste Lagemaßzahl ist der Stichprobenmedian.
   • Hierfür ordnet man die Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ der Größe nach. Dies ergibt die geordnete Stichprobe $(x_{(1)},\ldots,x_{(n)})$ mit $x_{(1)}\le\ldots\le x_{(n)}$.
   • Insbesondere gilt

     $$x_{(1)}=\min\limits_{1\le i\le n} x_i \qquad x_{(n)}=\max\limits_{1\le i\le n} x_i\,,$$ (4)

     
     
     d.h., $x_{(1)}$ bzw. $x_{(n)}$ sind das Minimum bzw. das Maximum der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$, die auch mit $x_{\min}$ bzw. $x_{\max}$ bezeichnet werden.
   • In diesem Zusammenhang wird auch die Stichprobenspannweite $x_{\max}-x_{\min}=x_{(n)}-x_{(1)}$ betrachtet, die jedoch eine Maßzahl für die Streuung der Daten ist; vgl. Abschnitt 2.2.2.
   • Manchmal ist es zweckmäßiger, anstelle des Stichprobenmittels $\overline x_n$ den Stichprobenmedian $x_{\rm med}$ zu betrachten, wobei

     $$x_{\rm med}=\left\{\begin{array}{ll} x_{((n+1)/2)}\,,&\mbox{falls... ..._{(n/2)}+x_{((n/2)+1)}\bigr)/2\,,&\mbox{falls $n$\ gerade,} \end{array} \right.$$ (5)

     
     

   • Beachte 
     • Der Stichprobenmedian ist also ebenfalls ein Mittelwert: Jeweils die Hälfte der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ ist kleiner bzw. größer als der Stichprobenmedian $x_{\rm med}$ .
     • Ein Vorteil des Stichprobenmedians $x_{\rm med}$ besteht darin, dass $x_{\rm med}$ wesentlich weniger als $\overline x_n$ von den extremalen Stichprobenwerten $x_{(1)}$ und $x_{(n)}$ abhängt.
     • Für das obenbetrachtete Zahlenbeispiel der Anzahlen von jeweils verkauften Lebensversicherungsverträgen gilt $x_{\rm med}=11$, und zwar sowohl für die gesamte Stichprobe aller $n=8$ Stichprobenwerte als auch für die Teilstichprobe von $n-1=7$ Stichprobenwerten, für die der ,,Ausreißerwert'' 24 gestrichen wurde.
   • Eine weitere allgemeine Eigenschaft des Medians $x_{\rm med}$ ist die Minimierung der Summe der absoluten Abweichungen
     $$e^\prime(z;x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n \vert x_i-z\vert$$
     minimiert, d.h., es gilt
     $$e^\prime(x_{\rm med};x_1,\ldots,x_n)=\min\limits_{z\in\mathbb{R}} e^\prime(z;x_1,\ldots,x_n)\,.$$

   
   

3. Empirische Quantile 
   • In Verallgemeinerung des Medians $x_{\rm med}$ betrachtet man für jedes $p\in(0,1)$ der Begriff des $p$-Quantils $z_p$ der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$.

     
     

   • Dabei geht man erneut von der geordneten Stichprobe $(x_{(1)},\ldots,x_{(n)})$ mit $x_{(1)}\le\ldots\le x_{(n)}$ aus und definiert das $p$-Quantil $z_p$ wie folgt:

     $$z_p=\left\{\begin{array}{ll} x_{([np]+1)}\,,&\mbox{falls $np$nich... ...{(np)}+x_{(np+1)}\bigr)/2\,,&\mbox{falls $np$\ ganzzahlig,} \end{array} \right.$$ (6)

     
     
     wobei $[np]$ die größte ganze Zahl bezeichnet, die kleiner oder gleich $np$ ist.

     
     

   • Beachte 
     • Durch das $p$-Quantil $z_p$ werden die Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ in zwei Teilmengen zerlegt, so dass mindestens $p\cdot 100\%$ der Stichprobenwerte kleiner oder gleich $z_p$ und mindestens $(1-p)\cdot 100\%$ der Stichprobenwerte größer oder gleich $z_p$ sind.
     • Mit anderen Worten: Für das $p$-Quantil $z_p$ gilt:
       $$\frac{\mbox{Anzahl}\,\{i:\,1\le i\le n,\, x_i\le z_p\}}{n}\;\ge p... ... \qquad \frac{\mbox{Anzahl}\,\{i:\,1\le i\le n,\, x_i\ge z_p\}}{n}\;\ge 1-p\,.$$

     • Insbesondere ist das $0.5$-Quantil $z_{0.5}$ gleich dem Median $x_{\rm med}$ der Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$.
     • Außerdem ergibt sich aus der Definitionsgleichung (6), dass $x_{(1)}=z_p$, falls $np<1$, und $x_{(n)}=z_p$, falls $np>n-1$, d.h., das Minimum $x_{(1)}$ und das Maximum $x_{(n)}$ der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ können auch als Quantile aufgefasst werden.
     • Weitere wichtige Quantile sind die sogenannten Quartile $z_{0.25}$ und $z_{0.75}$.
   • Für das obenbetrachtete Zahlenbeispiel der Anzahlen von jeweils verkauften Lebensversicherungsverträgen gilt $n=8$ und $z_{0.25}=(7+9)/2=8$ und $z_{0.75}=(12+13)/2=12.5$.

4. Modus
   • Derjenige Wert der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$, der am häufigsten auftritt, wird Modus der Stichprobe genannt und mit $x_{\rm mod}$ bezeichnet.
   • Beachte 
     • Der Modus $x_{\rm mod}$ ist die wichtigste Lagemaßzahl für nominalskalierte Merkmale.
     • Für das obenbetrachtete Zahlenbeispiel ist der Modus $x_{\rm mod}$ gleich 11.
   • Für intervallskalierte Merkmale können das Stichprobenmittel $\overline x_n$, der Median $x_{\rm med}$ und der Modus $x_{\rm mod}$ auch zur Beschreibung der Symmetrie bzw. Schiefe der Stichprobe benutzt werden. Man spricht von einer
     • symmetrischen Verteilung der Stichprobenwerte, falls $\overline x_n\approx x_{\rm med}\approx x_{\rm mod}$,
     • linkssteilen Verteilung der Stichprobenwerte, falls $\overline x_n> x_{\rm med}> x_{\rm mod}$,
     • rechtssteilen Verteilung der Stichprobenwerte, falls $\overline x_n< x_{\rm med}< x_{\rm mod}$.

   
   

5. Geometrisches und harmonisches Mittel
   • Neben dem eigentlichen (arithmetischen) Stichprobenmittel und dem Median werden in der Literatur noch weitere Ansätze zur Mittelung der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ betrachtet:
     • Das geometrische Mittel der Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ ist gegeben durch
       $$\overline x_{\rm geo}= (x_1\cdot\ldots\cdot x_n)^{1/n}$$

     • und das harmonische Mittel von $x_1,\ldots,x_n$ ist gegeben durch
       $$\overline x_{\rm har}=\frac{1}{\displaystyle \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}\;.$$

   • Beispiele

     i)

     Das geometrische Mittel $\overline x_{\rm geo}$ wird im Zusammenhang mit Wachstumsfaktoren von Beständen betrachtet (beispielsweise in der Finanz- und Versicherungswirtschaft, aber auch bei biologischen Wachstumsmodellen):

     • Ausgehend von einem Anfangsbestand $b_0$ sei $b_0,b_1,\ldots,b_n$ eine Folge von Bestandsdaten, die zu $n+1$ aufeinanderfolgenden (äquidistanten) Zeitpunkten beobachtet wurden.
     • Dabei wird vorausgesetzt, dass $b_i>0$ für jedes $i=0,1,\ldots,n$ gilt.
     • Man nennt $x_i=b_i/b_{i-1}$ den $i$-ten Wachstumsfaktor und $(b_i-b_{i-1})/b_{i-1}$ die $i$-te Wachstumsrate für $i=1,\ldots,n$.
     • Offenbar gilt
       $$b_n=b_0\,x_1\cdot\ldots\cdot x_n$$   bzw.$$\qquad b_n=b_0\,(\overline x_{\rm geo})^n\,,$$
       d.h., das geometrische Mittel $\overline x_{\rm geo}$ kann man als Mittelung der Wachstumsfaktoren $x_1,\ldots,x_n$ auffassen.
     • Außerdem ergibt sich durch Logarithmieren, dass
       $$\ln \overline x_{\rm geo}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \ln x_i$$   und somit$$\qquad \ln \overline x_{\rm geo}\le\overline x_n =\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n x_i\,,$$
       wobei $\overline x_{\rm geo}=\overline x_n$ genau dann, wenn $x_1=\ldots=x_n$.
     • Das (arithmetische) Stichprobenmittel $\overline x_n$ würde also einen (gegenüber $\overline x_{\rm geo}$) überhöhten mittleren Wachstumsfaktor liefern.

     ii)

     Das harmonische Mittel $\overline x_{\rm har}$ wird beispielsweise bei der Berechnung von mittleren Geschwindigkeiten verwendet.

     • Seien $x_1,\ldots,x_n$ die Datenübertragungsraten, mit denen $n$ Nachrichten der Länge $\ell$ übertragen werden.
     • Dann ist $(\ell/x_1)+\ldots+(\ell/x_n)$ die Gesamtdauer, die für die Übertragung der $n$ Nachrichten benötigt wird.
     • Die mittlere Datenübertragungsrate ist dann gegeben durch
       $$\overline x_{\rm har}=\frac{\ell+\ldots+\ell}{\displaystyle \frac{\ell}{x_1}+\ldots+\frac{\ell}{x_n}}\;.$$