Konzentrationsmaße

• In diesem Abschnitt setzen wir voraus, dass
  • das beobachtete Merkmal/Kenngröße/Variable kardinalskaliert ist,
  • sämtliche Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ nichtnegativ sind und
  • die sogenannte Gesamtmerkmalssumme $x_1+\ldots+x_n$ positiv ist, d.h. $\sum_{i=1}^n x_i>0$.
• Typische Beispiele solcher Merkmale/Kenngrößen/Variablen sind der Umsatz bzw. der Gewinn von Unternehmen, das Einkommen bzw. die Anzahl von Beschäftigten.
• Um die Bezeichnungsweise möglichst einfach zu halten, nehmen wir darüber hinaus (o.B.d.A.) an, dass die Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ der Größe nach geordnet sind, d.h., es gelte
  $$(x_1,\ldots,x_n)=(x_{(1)},\ldots,x_{(n)})\,.$$

Wir betrachten nun die folgenden beiden Charakteristiken zur Beschreibung von univariaten Daten, die in der Literatur Konzentrationsmaße genannt werden.

1. Lorenzkurve
   • Für jedes $j=1,\ldots,n$ betrachtet man die sogenannte relative Merkmalssumme
     $$v_j=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^j x_i\Big/\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n x_i\;,$$
     die die $j$ kleinsten Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_j$ auf sich ,,konzentrieren'', welche den Anteil $u_j=j/n$ von sämtlichen Stichprobenwerten ausmachen.
   • Den Polygonzug, der durch die $n+1$ Punkte $(0,0)=(u_0,v_0),(u_1,v_1),\ldots,(u_n,v_n)=(1,1)$ verläuft, nennt man Lorenzkurve der (geordneten) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$.
   • Beachte 
     • Anstelle der (auf die Zahl Eins bezogenen) Anteile $u_j$ und der relativen Merkmalssummen $v_j$ betrachtet man manchmal die prozentualen Anteile $100 u_j, 100 v_j$.
     • Man kann sich leicht überlegen, dass jede Lorenzkurve monoton wachsend und konvex (d.h. nach unten gewölbt) ist.
     • Die ,,Stärke der Konzentration'' der relativen Merkmalsummen in einem bestimmten Teilbereich der (geordneten) Stichprobe ist proportional zu der vertikalen Abweichung der Lorenzkurve von der (geradlinigen) Diagonalen, die die beiden Punkte $(0,0)$ und $(1,1)$ direkt miteinander verbindet.
   • Beispiel 
     • Wir betrachten 5 Unternehmen aus einundderselben Branche, von denen 3 Unternehmen einen Marktanteil von jeweils $10\%$, ein Unternehmen einen Marktanteil von $20\%$ und ein Unternehmen einen Marktanteil von $50\%$ haben möge.
     • Als (geordnete) Stichprobe ergibt sich dann $(x_1,\ldots,x_5)=(10,10,10,20,50)$, und als Lorenzkurve ergibt sich der Polygonzug durch die (prozentualen Anteil-) Punkte
       $$(0,0), (20,10), (40,20), (60,30), (80,50), (100,100)$$
       mit der graphischen Darstellung
       

   
   

2. Gini-Koeffizient
   • Weil sich die Stärke der Konzentration durch die Entfernung der Lorenzkurve von der NO-Diagonalen ausdrücken lässt, ist es naheliegend, in die Definition eines weiteren Konzentrationsmaßes die Fläche zwischen der Lorenzkurve und der NO-Diagonalen einzubeziehen.
   • Dabei betrachtet man den Quotienten dieses Flächeninhaltes zum ,,Gesamtflächeninhalt'' des rechtwinkligen Dreiecks, das durch die Punkte $(0,0)$, $(1,0)$ und $(1,1)$ gebildet wird, und nennt diesen Quotienten Gini-Koeffizient der (geordneten) Stichprobe $(x_1,\ldots,x_n)$.
   • Mit anderen Worten: Der Gini-Koeffizient $\gamma$ ist gegeben durch
     

     $$\gamma = \frac{\mbox{Flächeninhalt zwischen Diagonale und Lorenzkurve}}{\mbox{Flächeninhalt zwischen Diagonale und $u$-Achse}}$$

     $$= 2\cdot\; \,.$$

     
     

   • Hieraus ergibt sich durch eine einfache Rechnung, dass

     $$\gamma= \frac{\displaystyle 2\sum\limits_{i=1}^n i p_i-(n+1)}{n}\;,$$ (11)

     
     
     wobei $p_i=x_i\Bigl/\Bigl(\sum\limits_{i=1}^n x_i\Bigr)$.

     
     

   • Beachte 
     • Falls sämtliche Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ gleich sind, d.h. bei sogenannter Nullkonzentration mit $x_1=\ldots=x_n$, gilt $\gamma=0$.
     • Andererseits gilt $\gamma=(n-1)/n$ bei maximaler Konzentration, d.h., falls $x_1=\ldots=x_{n-1}=0$ und $x_n>0$.
     • Der maximal mögliche Wert des Gini-Koeffizienten $\gamma$ hängt somit vom Stichprobenumfang ab.
     • Aus diesem Grund wird manchmal der normierte Gini-Koeffizient $\gamma^*$ betrachtet, wobei
       $$\gamma^*=\frac{n}{n-1}\;\gamma\,.$$

     
     

   • Beispiel 
     • Für das obenbetrachtete Beispiel der Marktanteile der 5 Unternehmen gilt $n=5$ und
       $$p_i=\left\{\begin{array}{ll} 0.1 &\mbox{für $i=1,2,3$,}\\ 0.2 &\mbox{für $i=4$,}\\ 0.5 &\mbox{für $i=5$.} \end{array}\right.$$

     • Hieraus folgt, dass
       

       $$\gamma = \frac{1}{5}\;\bigl(2(0.1+0.2+0.3+0.8+2.5)-6\bigr)$$

       $$= \frac{1}{5}\; 1.8 =0.36$$

       
       
       bzw. $\gamma^*=0.45$.