Kontingenztafeln für relative bzw. bedingte Häufigkeiten

• Wenn anstelle der absoluten Häufigkeiten $h_{ij}=h(c_i,d_j)$ die relativen Häufigkeiten $f_{ij}=h(c_i,d_j)/n$ betrachtet werden, dann ergibt sich die folgende $k_1\times k_2$-Kontingenztafel der relativen Häufigkeiten der Kombinationen der Ausprägungen/Werte $c_i,d_j)$ von $X$ bzw. $Y$:

  	$d_1$	$\ldots$	$d_{k_2}$
  $c_1$	$f_{11}$	$\ldots$	$f_{1k_2}$	$f_{1\,\cdot}$
  $c_2$	$f_{21}$	$\ldots$	$f_{2k_2}$	$f_{2\,\cdot}$
  $\vdots$	$\vdots$		$\vdots$	$\vdots$
  $c_{k_1}$	$f_{k_11}$	$\ldots$	$f_{k_1k_2}$	$f_{k_1\,\cdot}$
  	$f_{\cdot\,1}$	$\ldots$	$f_{\cdot\,k_2}$	1

• Dabei sind
  $$f_{i\,\cdot}=f_{i1}+\ldots+f_{ik_2}\qquad \forall\, i=1,\ldots,k_1$$
  bzw.
  $$f_{\cdot\,j}=f_{1j}+\ldots+f_{k_1j}\qquad \forall\, j=1,\ldots,k_2$$
  die relativen Randhäufigkeiten der Ausprägungen/Werte von $X$ bzw. $Y$.
• Bei der Untersuchung der Frage, ob Zusammenhänge zwischen den Ausprägungen/Werten von $X$ bzw. $Y$ bestehen, interessieren darüber hinaus noch die bedingten relativen Häufigkeiten

  $$f_Y(j\mid i)=\frac{h_{ij}}{h_{i\,\cdot}} \qquad f_X(i\mid j)=\frac{h_{ij}}{h_{\cdot\,j}}\qquad \forall\, i=1,\ldots,k_1,\;j=1,\ldots,k_2\,,$$ (14)

  
  
  wobei $\frac{\displaystyle 0}{\displaystyle 0}=0$ gesetzt wird.
• Dabei sind $f_Y(1\mid i),\ldots,f_Y(k_2\mid i)$ die relativen Häufigkeiten derjenigen Ausprägungen/Werte von $Y$, die zusammen mit der (fest vorgegebenen) Ausprägung $c_i$ von $X$ auftreten.
• Man spricht deshalb auch von den bedingten relativen Häufigkeiten $f_Y(1\mid i),\ldots,f_Y(k_2\mid i)$ der Ausprägungen/Werte von $Y$ unter der Bedingung, dass $X=c_i$.
• Umgekehrt heißen $f_X(1\mid j),\ldots,f_X(k_1\mid j)$ die bedingten relativen Häufigkeiten der Ausprägungen/Werte von $X$ unter der Bedingung, dass $Y=d_j$.
• Für das in Abschnitt 2.3.1 betrachtete Beispiel, bei dem die Merkmale ,,Ausbildungsniveau'' und ,,Dauer der Arbeitslosigkeit'' betrachtet wurden, ergibt sich dann die folgende $4\times 3$-Kontingenztafel der bedingten relativen Häufigkeiten:

  	$\le$ 6 Monate	7-12 Monate	$>$ 12 Monate
  keine Ausbildung	0.699	0.154	0.147	1
  Lehre	0.730	0.184	0.086	1
  fachspez. Ausbildung	0.714	0.197	0.089	1
  Hochschulabschluss	0.800	0.114	0.086	1