Simultane Konfidenzbereiche; Konfidenzbänder

1. Simultane Konfidenzbereiche
   • Auf ähnliche Weise wie in Abschnitt 3.1.4 kann man sogenannte simultane Konfidenzbereiche zum Niveau $\gamma\in(0,1)$
     • gleichzeitig für mehrere erwartete Zielwerte $\alpha+\beta x_{0i}$, $i=1,\ldots,m$ angeben, die vorgegebenen (Ausgangs-) Werten $x_{01},\ldots,x_{0m}\in\mathbb{R}$ entsprechen.
     • Dabei ist erneut der Fall $x_{01},\ldots,x_{0m}\not\in\{x_1,\ldots,x_n\}$ von besonderem Interesse, d.h., wenn an den Stellen $x_{01},\ldots,x_{0m}$ keine Daten erhoben werden.
     • Man kann nämlich zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit mindestens gleich $\gamma$ ist, dass

       $$\widehat\alpha+\widehat\beta x_{0i}-\tau^{\prime\prime}_i<\alpha+\beta x_{0i}<\widehat\alpha+\widehat\beta x_{0i}+\tau^{\prime\prime}_i$$ (30)

       
       
       gleichzeitig für jedes $i=1,\ldots,m$ gilt, wobei
       $$\tau^{\prime\prime}_i={\rm t}_{n-2,1-(1-\gamma)/(2m)}S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(x_{0i}-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\;.$$

   • Das kartesische Produkt $A_1\times\ldots\times A_m$ der $m$ Intervalle $A_i=\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_{0i}-\tau^{\prime\prime}_i,\,\widehat\alpha+\widehat\beta x_{0i}+\tau^{\prime\prime}_i\bigr)$ in (30) heißt simultaner Konfidenzbereich für den Vektor $(\alpha+\beta x_{01},\ldots,\alpha+\beta x_{0m})$.

   
   

2. Konfidenzbänder
   • Wir gehen nun noch einen Schritt weiter als in (30) und fragen,
     • ob es eine Zahl $a_\gamma>0$ gibt, so dass die Wahrscheinlichkeit mindestens gleich $\gamma$ ist, dass gleichzeitig für jedes $z\in\mathbb{R}$

       $$\widehat\alpha+\widehat\beta z-a_\gamma S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\f... ...z+a_\gamma S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(z-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\;.$$ (31)

       
       

     • Die Menge $B_\gamma\subset\mathbb{R}^2$ mit

       $$B_\gamma=\Biggl\{(z_1,z_2)\in\mathbb{R}^2:\,\widehat\alpha+\wideh... ...mma S\sqrt{\frac{1}{n}\,+\,\frac{(z_1-\overline x_n)^2}{(n-1)s^2_{xx}}}\Biggl\}$$ (32)

       
       
       heißt dann Konfidenzband zum Niveau $\gamma$ für die Regressionsgerade $y=\alpha+\beta x$.
   • Bei der Lösung dieser Fragestellung ist die F-Verteilung nützlich, die ebenfalls eine Klasse von statistischen Prüfverteilungen bildet.
     • Zur Erinnerung: Seien $r,s\ge 1$ beliebige natürliche Zahlen, und seien $U_r,\, U_s^\prime:\Omega\to(0,\infty)$ unabhängige $\chi^2$-verteilte Zufallsvariablen mit $U_r\sim\chi_r^2$ und $U_s^\prime\sim\chi_s^2$.
     • Man sagt dann, dass die Zufallsvariable
       $$W_{r,s}= \frac{U_r/r}{U_s^\prime/s}$$
       F-verteilt ist mit $(r,s)$ Freiheitsgraden. (Schreibweise: $W_{r,s}\sim$ F$_{r,s}$)
     • Die Dichte von $W_{r,s}$ ist gegeben durch

       $$f_{W_{r,s}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{\displ... ...gr)^{(r+s)/2}}\;, & \mbox{falls $x>0$,}\\ 0 & \mbox{sonst,} \end{array}\right.$$ (33)

       
       
       mit der graphischen Darstellung:

       
       

       

   • Man kann zeigen, dass durch die in $(\ref{kon.sim.ban})$ definierte Menge $B_\gamma\subset\mathbb{R}^2$ ein Konfidenzband zum Niveau $\gamma$ für die Regressionsgerade $y=\alpha+\beta x$ gegeben ist, wenn $a_\gamma$ wie folgt gewählt wird:
     $$a_\gamma=\sqrt{2\,{\rm F}_{2,n-2,\gamma}}\,.$$

   • Beachte 
     • Es ist klar, dass t $_{n-2,1-(1-\gamma)/(2m)}>\sqrt{2\,{\rm F}_{2,n-2,\gamma}}$ für jedes hinreichend große $m$ gilt .
     • Hieraus folgt, dass der simultane Konfidenzbereich, der in (30) betrachtet wurde, für große $m$ größer ist als der simultane Konfidenzbereich, der sich aus dem in (31) betrachteten Konfidenzband ergibt.
     • Auf den ersten Blick scheint dies ein Widerspruch zu sein, weil in (31) die Überdeckungseigenschaft für alle $x\in\mathbb{R}$ gefordert wird, während diese Eigenschaft in (30) nur für endlich viele Ausgangswerte $x_{01},\ldots,x_{0m}$ betrachtet wird.
     • Der Grund, dass (31) für große $m$ zu kleineren (d.h. besseren) simultanen Konfidenzbereichen führt, besteht darin, dass bei der Herleitung von (30) die sogenannte Bonferroni-Ungleichung der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet wird, die für große $m$ nur eine sehr ungenaue untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit $\mathbb{P}\Bigl(\bigcap_{i=1}^m A_i\Bigr)$ liefert, wobei
       $$A_i=\bigl(\widehat\alpha+\widehat\beta x_{0i}-\tau^{\prime\prime},\,\widehat\alpha+\widehat\beta x_{0i}+\tau^{\prime\prime}\bigr)\,.$$

   • Beispiele 
     • Aus den Daten über Weglängen und Lieferzeiten ergibt sich das folgende Konfidenzband zum Niveau $\gamma=0.95$, das an der Stelle $\overline x_n=762$ die kleinste Breite aufweist:

       
       

       

       
       

     • Auf ähnliche Weise ergibt sich aus den Daten über die beiden Merkmale ,,Geburtsgewicht'' und ,,Gewichtszunahme'' das folgende Konfidenzband zum Niveau $\gamma=0.95$, das an der Stelle $\overline x_n=3170$ die kleinste Breite aufweist: