Modellannahmen

• Wir nehmen nun an, dass die Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ durch das folgende stochastische Modell gegeben sind.
  • Und zwar zerlegen wir die Zufallsstichprobe $(Y_1,\ldots,Y_n)$ in $k$ Teilstichproben $(Y_{ij},\, j=1,\ldots,n_i)$, wobei angenommen wird, dass $n_i>1$ für jedes $i=1,\ldots,k$ und $\sum_{i=1}^k n_i=n$.
  • Außerdem setzen wir voraus, dass die Stichprobenvariablen, die zu einundderselben Teilstichprobe gehören, jeweils den gleichen Erwartungswert haben.
• Mit anderen Worten: Wir nehmen an, dass

  $$Y_{ij}=\theta_i+\varepsilon _{ij}\,,\qquad \forall\,i=1,\ldots,k,\; j=1,\ldots,n_i$$ (34)

  
  
  gilt, wobei
  • $\theta_1,\ldots,\theta_k\in\mathbb{R}$ (unbekannte) Modellparameter sind,
  • die Störgrößen $\varepsilon _{ij}:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängig sind mit

    $${\mathbb{E}\,}\varepsilon _{ij}=0\,,\qquad{\rm Var\,}\varepsilon _{ij}=\sigma_i^2 \,,\qquad \forall\,i=1,\ldots,k,\; j=1,\ldots,n_i$$ (35)

    
    

  • und die Varianzen $\sigma^2_1,\ldots,\sigma^2_k>0$ ebenfalls unbekannte Modellparameter sind.

• Beachte 
  • Die Nummern $i=1,\ldots,k$ der Teilstichproben $(Y_{ij},\, j=1,\ldots,n_i)$ werden als Stufen eines Einflussfaktors gedeutet.
  • Von besonderem Interesse ist der Fall, dass $\sigma^2_1=\ldots=\sigma^2_k=\sigma^2>0$. In diesem Fall spricht man von homoskedastischen Störgrößen, ansonsten von heteroskedastischen Störgrößen.
  • Die obengemachten Modellannahmen bedeuten insbesondere, dass die beobachteten Werte $y_1,\ldots,y_n$ der Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ wie folgt tabellarisch strukturiert werden können:

    
    

    Stufe	1	2	3	$\ldots$	$k$
    	$y_{11}$	$y_{21}$	$y_{31}$	$\cdots$	$y_{k1}$
    	$y_{12}$	$y_{22}$	$y_{32}$	$\cdots$	$y_{k2}$
    	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\cdots$	$y_{k3}$
    			$y_{3n_3}$		$\vdots$
    	$y_{1n_1}$
    		$y_{2n_2}$			$y_{kn_k}$

    
    

  • Der Begriff ,,Varianzanalyse'' bedeutet nicht, dass die Varianzen der Stichprobenvariablen $Y_{ij}$ untersucht werden, sondern es handelt sich um die Analyse der Variabilität der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$.
  • In der englischsprachigen Literatur ist die Abkürzung ANOVA üblich (ANOVA = analysis of variance).

  
  

• Beispiel (vgl. L.J. Kazmier (1999) Wirtschaftsstatistik. McGraw-Hill, S. 235 ff.) 
  • Eine Gruppe von 12 Personen führte das folgende Copmuter-Experiment durch.
  • Dabei standen 3 verschiedene Tastaturen zur Verfügung, um einen vorgegebenen Text jeweils eine Minute lang in einen PC einzugeben.
  • Es nutzen 5 Personen die erste Tastatur, 3 Personen die zweite Tastatur und 4 Personen die dritte Tastatur, wobei jeweils die folgenden Anzahlen von Wörtern je Minute in den PC eingegeben wurden:

    
    

    Tastatur	1	2	3
    	79	74	81
    	83	85	65
    	62	72	79
    	51		55
    	77

    
    

  • Der Einflussfaktor ,,Tastatur'' hat also in diesem Fall $k=3$ ,,Stufen'' mit $n_1=5$, $n_2=3$ bzw. $n_3=4$.
  • Die Größen $\theta_1$, $\theta_2$ bzw. $\theta_3$ sind dabei jeweils die erwarteten Anzahlen von Wörtern, die mit der ersten, zweiten bzw. dritten Tastatur je Minute in den PC eingegeben werden.