Klassische ANOVA-Nullhypothese; Kontraste

• Die klassische ANOVA-Nullhypothese besteht darin zu prüfen,
  • ob die Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$ der Stichprobenvariablen $Y_{ij}$ gleich sind, also nicht von der Nummer $i$ der betrachteten Teilstichprobe abhängen,
  • d.h., wir prüfen die Hypothese, ob die Stufen des Einflussfaktors keine statistische Signifikanz haben.
• Beachte 
  • Beim Testen der ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ ist es nützlich zu beachten, dass diese Hypothese mit Hilfe von sogenannten Kontraste ausgedrückt werden kann.
  • Unter einem Kontrast versteht man dabei die folgenden Abbildung:
    $${\mathbf{t}}\to\sum\limits_{i=1}^k a_i t_i$$   $$\mbox{mit $\sum_{i=1}^k a_i=0$}$$$$,$$
    wobei ${\mathbf{t}}=(t_1,\ldots,t_k)\in\mathbb{R}^k$ ein beliebiger Vektor von Variablen und ${\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k)\in\mathbb{R}^k$ ein Vektor von (bekannten) Konstanten ist.
• Man kann nämlich zeigen, dass die Gültigkeit von $\theta_1=\ldots=\theta_k$ gleichbedeutend damit ist, dass $\sum_{i=1}^k a_i\theta_i=0$ für jedes ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$, wobei
  $$\mathcal{A}=\Bigl\{{\mathbf{a}}=(a_1,\ldots,a_k):\,{\mathbf{a}}\not={\bf o},\, \sum\limits_{i=1}^k a_i=0\Bigr\}$$
  und ${\mathbf{o}}=(0,\ldots,0)$ den Nullvektor bezeichnet.
• Die ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ kann somit in der folgenden Form geschrieben werden:

  $$H_0:\;\sum\limits_{i=1}^k a_i\theta_i=0 \mbox{für jedes ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$,}$$ (36)

  
  
  d.h., jeder Kontrast nimmt im Punkt ${\mathbf{t}}=(\theta_1,\ldots,\theta_k)$ den Wert 0 an.
• Um einen Test zur Verifizierung der ANOVA-Nullhypothese (36) zu konstruieren, wird nun zunächst
  • die Hypothese $H_0:\;\sum_{i=1}^k a_i\theta_i=0$ für einen vorgegebenen Kontrast ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$ betrachtet,
  • d.h., es wird zunächst ein hypothetischer Wert für die Linearkombination $\sum_{i=1}^k a_i\theta_i$ der Erwartungswerte $\theta_1,\ldots,\theta_k$ getestet.