F-Test der ANOVA-Nullhypothese; Quadratsummenzerlegung

• Zur Erinnerung:
  • Die ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ ist äquivalent mit der Hypothese $H_0: {\boldsymbol{\theta}}\in\bigcap\limits_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}}\Theta_{\mathbf{a}}$, wobei ${\boldsymbol{\theta}}=(\theta_1,\ldots,\theta_k)$ und
    $$\Theta_{\mathbf{a}}=\Bigl\{{\boldsym... ...e,\ldots,\theta_k^\prime):\,\sum\limits_{i=1}^k a_i\theta_i^\prime=0\Bigr\}\,.$$

  • Für jeden (einzelnen) Kontrast ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$ hatten wir in Abschnitt 3.2.3 die Hypothese $H_{0,{\mathbf{a}}}: {\boldsymbol{\theta}}\in\Theta_{\mathbf{a}}$ zum Niveau $1-\gamma\in(0,1)$ (gegen die Alternative $H_{1,{\mathbf{a}}}:{\boldsymbol{\theta}}\not\in\Theta_{\mathbf{a}}$) getestet.
  • Dabei wurde die Nullhypothese $H_{0,{\mathbf{a}}}: {\boldsymbol{\theta}}\in\Theta_{\mathbf{a}}$ abgelehnt, falls die Testgröße

    $$T_{\mathbf{a}}=\;\Biggl\vert\frac{\sum\limits_{i=1}^k a_i\overlin... ...} }{\sqrt{S^2_p\,\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k\frac{a_i^2}{n_i}}}\Biggr\vert$$ (46)

    
    
    einen gewissen Schwellenwert $c_\gamma$ überschreitet, der nur von $\gamma$ (jedoch nicht von ${\mathbf{a}}$) abhängt.
• Dies führt zu folgendem Ansatz, um die klassische ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$, d.h. die Hypothese $H_0: {\boldsymbol{\theta}}\in\bigcap\limits_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}}\Theta_{\mathbf{a}}$ (gegen die Alternative $H_1: {\boldsymbol{\theta}}\not\in\bigcap\limits_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}}\Theta_{\mathbf{a}}$) zu testen:
  • Weil $H_0$ genau dann abgelehnt wird, wenn die Hypothese $H_{0,{\mathbf{a}}}:{\boldsymbol{\theta}}\in\Theta_{\mathbf{a}}$ für ein ${\mathbf{a}}\in\mathcal{A}$ abgelehnt wird und
  • weil somit der Ablehnungsbereich der ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ die Vereinigung der Ablehnungsbereiche der Hypothesen $H_{0,{\mathbf{a}}}$ ist,
  • ist es naheliegend, die Hypothese $H_0$ genau dann abzulehnen, wenn

    $$\sup\limits_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}}\, T_{\mathbf{a}}^2 > c_\gamma^2\,,$$ (47)

    
    
    wobei der Schwellenwert $c_\gamma^2$ so gewählt wird, dass die Wahrscheinlichkeit des in (47) betrachteten Ereignisses unter $H_0$ nicht größer als $1-\gamma$ ist.

  
  

• Man kann nun zeigen, dass unter $H_0$ folgendes gilt:

  $$\frac{1}{k-1}\;\sup\limits_{{\mathbf{a}}\in\mathcal{A}}\, T_{\mat... ...ot}- \overline Y_{\cdot\cdot}\bigr)^2}{(k-1)S^2_p} \;\sim\;{\rm F}_{k-1,n-k}\,,$$ (48)

  
  
  wobei ${\rm F}_{k-1,n-k}$ die bereits in Abschnitt 3.1.6 erwähnte F-Verteilung mit $(k-1,n-k)$-Freiheitsgraden bezeichnet.
• Die ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ wird somit abgelehnt, falls

  $$\frac{\sum\limits_{i=1}^k n_i\bigl(\overline Y_{i\cdot}- \overline Y_{\cdot\cdot}\bigr)^2}{(k-1)S^2_p}>\,{\rm F}_{k-1,n-k,\gamma}\,.$$ (49)

  
  

  
  

• Beachte 
  • Durch die folgende Quadratsummenzerlegung ergibt sich eine anschauliche Deutung von Zähler und Nenner der in (49) betrachteten Testgröße.
  • Man kann nämlich zeigen, dass

    $$\sum\limits_{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}- \overli... ..._{i=1}^{k}\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}- \overline Y_{i\cdot} \bigr)^2\,.$$ (50)

    
    

  • Die Doppelsumme auf der linken Seite von (50) kann als eine Maßzahl für die (Gesamt-) Variabilität der Stichprobenvariablen $\{Y_{ij},\, i=1,\ldots,k,\, j=1,\ldots,n_i\}$ aufgefasst werden.
  • Die erste Summe auf der rechten Seite von (50) ist eine Maßzahl für die Variabilität zwischen den Stufen des Einflussfaktors, während die Doppelsumme auf der rechten Seite von (50) eine Maßzahl für die Variabilität innerhalb der Stufen des Einflussfaktors ist.
  • Wegen
    $$S_p^2=\frac{1}{n-k}\;\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^{n_i}\bigl(Y_{ij}-\overline Y_{i\cdot}\bigr)^2$$
    ist die in (49) betrachtete Testgröße also proportional zu dem Quotienten, der aus der Variabilität zwischen den Stufen des Einflussfaktors und der Variabilität innerhalb der Stufen gebildet wird.
  • Die durch (49) gegebene Entscheidungsregel bedeutet somit, dass die ANOVA-Nullhypothese $H_0:\theta_1=\ldots=\theta_k$ abgelehnt wird, falls die Variabilität zwischen den Stufen signifikant größer als die Variabilität innerhalb der Stufen des Einflussfaktors ist.

  
  

• Beispiel 
  • Für das bereits in den Abschnitten 3.2.1 bzw. 3.2.3 betrachtete Beispiel der Eingabe von Wörtern über drei verschiedene Tastaturen wollen wir nun prüfen, ob sich die drei Tastaturen hinsichtlich der jeweils erwarteten Anzahlen der eingegebenen Wörter je Minute signifikant voneinander unterscheiden ( $1-\gamma=0.05$).
  • Mit anderen Worten: Wir testen die ANOVA Nullhypothese $H_0:\theta_1=\theta_2=\theta_3$ zum Niveau $1-\gamma=0.05$.
  • Hierfür berechnen wir zunächst den beobachteten Wert der Testgröße in (49), wobei sich für die Schätzer $\overline Y_{1\cdot}$, $\overline Y_{2\cdot}$, $\overline Y_{3\cdot}$, $\overline Y_{\cdot\cdot}$ und $S^2_p$ die folgenden Werte ergeben:
    $$\overline Y_{1\cdot}=70.4\,,\qquad \overline Y_{2\cdot}=77.0\,,\q... ...e Y_{3\cdot}=70.0\,,\qquad \overline Y_{\cdot\cdot}=71.9\,,\qquad S^2_p=141.47$$
    und somit
    $$\frac{\sum\limits_{i=1}^k n_i\bigl(\overline Y_{i\cdot}- \overlin... ...(70.4-71.9)^2+3\cdot(77.0-71.9)^2 +4\cdot(70.0-71.9)^2}{2\cdot 141.47}=0.37\,.$$

  • Andererseits gilt ${\rm F}_{2,9,\,0.950}=4.26>0.37$, weshalb $H_0:\theta_1=\theta_2=\theta_3$ nicht abgelehnt wird.