Modellbeschreibung

• Wir betrachten die folgende Verallgemeinerung des in Abschnitt 3.1 diskutierten (einfachen) linearen Regressionsmodells mit deterministischen Ausgangswerten $x_1,\ldots,x_n$ eines einzelnen Einflussfaktors.

  
  

• Dabei lassen wir nun zu, dass die Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ nicht nur von den Werten $x_1,\ldots,x_n$ eines einzelnen Einflussfaktors abhängen, d.h., wir betrachten $m-1$ Einflussfaktoren, wobei $m\ge 2$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene natürliche Zahl ist; $n\ge m$.

  
  

• Mit anderen Worten: Wir nehmen an, dass die Zielvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ von $(m-1)$-dimensionalen vektoriellen Ausgangswerten $(x_{12},\ldots,x_{1m}),\ldots,(x_{n2},\ldots,x_{nm})$ abhängen, d.h., es gelte

  $$Y_i=\varphi(x_{i2},\ldots,x_{im})+\varepsilon _i\,,\qquad\forall\,i=1,\ldots,n\,,$$ (51)

  
  
  wobei
  • die Regressionsfunktion $\varphi:\mathbb{R}^{m-1}\to\mathbb{R}$ gegeben ist durch

    $$\varphi(x_2,\ldots,x_m)=\beta_1+\beta_2x_2+\ldots +\beta_mx_m\,,\qquad\forall\,(x_2,\ldots,x_m)\in\mathbb{R}^{m-1}$$ (52)

    
    
    mit der Regressionskonstante $\beta_1\; (=\alpha)\;\in\mathbb{R}$ und den Regressionskoeffizienten $\beta_2,\ldots,\beta_m\in\mathbb{R}$,
  • die zufälligen Störgrößen $\varepsilon _1,\ldots,\varepsilon _n:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängig sind mit

    $${\mathbb{E}\,}\varepsilon _i=0\,,\qquad{\rm Var\,}\varepsilon _i=\sigma^2$$ (53)

    
    
    für eine gewisse (unbekannte) Zahl $\sigma^2>0$.

  
  

• Die unbekannten Modellparameter $\beta_1,\ldots,\beta_m$ und $\sigma^2$ sind aus den vorliegenden Daten $y_1,\ldots,y_n$ bzw. $x_{12},\ldots,x_{1m}$, $\ldots,$ $x_{n2},\ldots,x_{nm}$ zu schätzen.

  
  

• Beachte 
  • In Matrixschreibweise lässt sich das in (51) und (52) gegebene multiple lineare Regressionsmodell wie folgt formulieren:

    $${\mathbf{Y}}={\mathbf{X}}{\boldsymbol{\beta}}+{\boldsymbol{\varepsilon }}\,,$$ (54)

    
    
    wobei

    $${\mathbf{Y}}=\left(\begin{array}{c} Y_1\\ \vdots\\ Y_n \end{arr... ...(\begin{array}{c} \varepsilon _1\\ \vdots\\ \varepsilon _n \end{array}\right)$$ (55)

    
    

    
    

  • Dabei wird ${\mathbf{X}}$ die Designmatrix des Regressionsmodells genannt.