Beispiel: gleichverteilte Stichprobenvariablen

• Wir illustrieren nun die in Abschnitt 1.4.2 hergeleiteten Ergebnisse für das folgende Beispiel.
• Die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ seien gleichverteilt im Intervall $(0,\theta)$ für ein $\theta>0$, d.h.
  $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \theta^{-1}\,, & \mbox{falls $x\in(0,\theta)$,}\\ 0\,, & \mbox{falls $x\not\in(0,\theta)$.} \end{array}\right.$$

1. Dichte, Erwartungswert und Varianz von $X_{(i)}$ 
   • Aus Theorem 1.15 ergibt sich durch Einsetzen in (53), dass
     $$f_{X_{(i)}}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{n!}{(... ...$,}\\ [3\jot] 0\,, & \mbox{falls $x\not\in(0,\theta)$.} \end{array}\right.$$

   • Hieraus folgt insbesondere, dass
     $${\mathbb{E}\,}X_{(i)}=\frac{i\theta}{n+1}$$   und$$\qquad {\rm Var\,} X_{(i)}=\frac{i(n-i+1)\theta^2}{(n+1)^2(n+2)}\;.$$

2. Gemeinsame Dichte von $X_{(1)}$ und $X_{(n)}$
   • Aus Theorem 1.16 ergibt sich durch Einsetzen in (55), dass für $0< x_1<x_n<\theta$

     $$f_{X_{(1)},X_{(n)}}(x_1,x_n)=\frac{n(n-1)}{\theta^2}\; \Bigl(\fr... ...eta}-\frac{x_1}{\theta}\Bigr)^{n-2} =\frac{n(n-1)(x_n-x_1)^{n-2}}{\theta^n}\;.$$ (57)

     
     

3. Gemeinsame Dichte von $R_n=X_{(n)}-X_{(1)}$ und $Z_n=(X_{(1)}+X_{(n)})/2$
   • Wir betrachten nun die Stichprobenspannweite $R_n=X_{(n)}-X_{(1)}$ und das arithmetische Mittel $Z_n=(X_{(1)}+X_{(n)})/2$ der extremalen Ordnungsstatistiken $X_{(1)}$ und $X_{(n)}$.
   • Ähnlich wie das Stichprobenmittel $\overline X_n$ bzw. der Stichprobenmedian $M_n$ ist auch das Mittel $Z_n=(X_{(1)}+X_{(n)})/2$ eine sogenannte Lokationskenngröße.
   • Für die gemeinsame Dichte $f_{R_n,Z_n}:\mathbb{R}^2\to[0,\infty)$ des Zufallsvektors $(R_n,Z_n)$ gilt

     $$f_{R_n,Z_n}(r.z)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{n(n... ...theta)$\ und $r/2<z<\theta-r/2$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst.} \end{array}\right.$$ (58)

     
     

   • Dabei ergibt sich (58) aus (57) und aus dem in Theorem 1.9 angegebenen Transformationssatz für die Dichte von absolutstetigen Zufallsvektoren.
   • Denn durch die Abbildung
     $$(x_{(1)},x_{(n)})\to(r,z):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$
     mit
     $$(r,z)=\Bigl(x_{(n)}-x_{(1)}\;,\,\frac{x_{(1)}+x_{(n)}}{2}\Bigr)$$
     wird die Menge $\{(x_{(1)},x_{(n)}):\,0< x_{(1)}<x_{(n)}<\theta\}$ auf die Menge $\{(r,z):\,0<r<\theta,\,r/2<z<\theta-r/2\}$ abgebildet, und
   • für die Umkehrabbildung
     $$(r,z)\to(x_{(1)},x_{(n)}):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$
     mit
     $$(x_{(1)},x_{(n)})=\Bigl(z-\frac{r}{2}\;,\,z+\frac{r}{2}\Bigr)$$
     ist die Jacobi-Determinante gleich $-1$.
4. Dichte von $R_n=X_{(n)}-X_{(1)}$
   • Für die (Rand-) Dichte $f_{R_n}:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ von $R_n=X_{(n)}-X_{(1)}$ gilt

     $$f_{R_n}(r)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{n(n-1)r^{... ... \mbox{falls $ r\in(0,\theta)$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst,} \end{array}\right.$$ (59)

     
     

   • denn aus (58) und aus Theorem WR-3.9 über die Integraldarstellung von Randdichten ergibt sich, dass für jedes $r\in(0,\theta)$
     

     $$f_{R_n}(r) = \int\limits_{r/2}^{\theta-r/2} \frac{n(n-1)r^{n-2}}{\theta^n}\;dz$$

     $$= \frac{n(n-1)r^{n-2}(\theta-r)}{\theta^n}\;.$$

     
     

5. Dichte von $Z_n=(X_{(1)}+X_{(n)})/2$
   • Auf die gleiche Weise wie bei der Herleitung von (59) kann man zeigen, dass

     $$f_{Z_n}(z)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{n(2z)^{n-... ...n-1}}{\theta^n}\;, & \mbox{falls $z\in(\theta/2,\theta)$,} \end{array}\right.$$ (60)

     
     

   • denn aus (58) ergibt sich, dass für $z\in(0,\theta/2]$
     $$f_{Z_n}(z) = \int\limits_0^{2z} \frac{n(n-1)r^{n-2}}{\theta^n}\;dr =\frac{n(2z)^{n-1}}{\theta^n}$$
     bzw. für $z\in(\theta/2,\theta)$
     $$f_{Z_n}(z) = \int\limits_0^{2(\theta-z)} \frac{n(n-1)r^{n-2}}{\theta^n}\;dr= \frac{n\bigl(2(\theta-z)\bigr)^{n-1}}{\theta^n}\;.$$