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Parametrisches Modell

Wir nehmen an, dass der (gemeinsame) Wahrscheinlichkeitsraum $ (\Omega,\mathcal{F},P)$, über dem die Stichprobenvariablen $ X_1,X_2,\ldots$ definiert sind, der sogenannte kanonische Wahrscheinlichkeitsraum ist, vgl. auch das in Abschnitt WR-4.1.1 diskutierte Beispiel des wiederholten Würfelns. D. h., wir setzen

$\displaystyle \Omega=\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\ldots=\{\omega:\omega=
(\omega_1,\omega_2,\ldots),\; \omega_i\in\mathbb{R}\;\;\forall i=1,2,\ldots\}
$

und $ \mathcal{F}=\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\mathcal{B}(\mathbb{R})\otimes\ldots$, wobei das Wahrscheinlichkeitsmaß $ P$ gegeben ist durch

$\displaystyle P(\{\omega:\omega\in\Omega, \omega_{i_1}\le
 x_{i_1},\ldots,\omega_{i_k}\le
 x_{i_k}\})=F(x_{i_1})\cdot\ldots\cdot F(x_{i_k})\,.$ (1)

Die Stichprobenvariablen $ X_i:\Omega\to\mathbb{R}$ sind gegeben durch $ X(\omega)=\omega_i$, d.h. durch die Projektion auf die $ i$-te Komponente $ \omega_i$ von $ \omega$.
Beachte
 


Beispiel
$ \;$ Eine der wichtigsten parametrischen Verteilungsfamilien % latex2html id marker 26315
$ \{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Stichprobenvariablen, die in dieser Vorlesung betrachtet werden, ist die Normalverteilungsfamilie $ \{$N $ (\mu,\sigma^2),\,\mu\in\mathbb{R},\,
\sigma^2> 0\}$. In diesem Fall ist $ m=2$, % latex2html id marker 26323
$ \Theta=\mathbb{R}\times(0,\infty)$ und $ \theta=(\theta_1,\theta_2)=(\mu,\sigma^2)$.


Beachte
$ \;$ Weitere Beispiele von Familien parametrischer Verteilungen, die bisher in dieser Vorlesung (bzw. in der Vorlesung ,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' des WS 01/02) betrachtet wurden, sind die Familien der

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Ursa Pantle 2004-07-14