Damit ist (24) bewiesen, und (25)
ergibt sich unmittelbar aus der Definition der
Erwartungstreue.
Beachte
Aus der Zerlegung (24) ergibt sich, dass der
MQ-Fehler eines Schätzers
genau
dann klein ist, wenn sowohl die Varianz
als auch die
Verzerrung Bias
von
klein sind.
Um zu einem Schätzer mit einem kleinen MQ-Fehler zu gelangen,
könnte man also unter den verfügbaren erwartungstreuen Schätzern
denjenigen Schätzer mit der kleinsten Varianz auswählen.
Manchmal ist es jedoch sinnvoll, den MQ-Fehler noch weiter zu
verringern, indem man bei der Minimierung des MQ-Fehlers nicht nur
erwartungstreue Schätzer betrachtet, sondern auch verzerrte
Schätzer mit in die Betrachtung einbezieht.
Beispiele
Normalverteilte Stichprobenvariablen
Sei
eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit
N
.
In den Theoremen 1.1 bzw. 1.3
hatten wir gezeigt, dass
bzw.
erwartungstreue Schätzer für bzw. sind.
Außerdem hatten wir in den Theoremen 1.1 bzw.
1.3 gezeigt, dass die Varianz dieser Schätzer
gegeben ist durch
bzw.
wobei
;
.
Dabei vereinfacht sich die letzte Formel bei normalverteilten
Stichprobenvariablen, denn ähnlich wie in Übungsaufgabe 1.2
kann
durch Differenzieren der
charakteristischen Funktion der N
-Verteilung
bestimmt werden.
Hieraus ergibt sich, dass
In den Abschnitten 2.2.1 bzw. 2.2.2 wurde
der folgende (alternative) Schätzer für konstruiert:
Dieser Schätzer ist nicht erwartungstreu, sondern nur asymptotisch
erwartungstreu.
Für die Varianz von
gilt
jedoch:
Aus Theorem 2.1 ergibt sich außerdem für den
MQ-Fehler von
bzw. ,
dass
Der Schätzer
für
hat also einen kleineren MQ-Fehler als .
Andererseits besteht ein Nachteil des Schätzers
darin, dass
die Modellvarianz
systematisch unterschätzt.
Bernoulli-verteilte Stichprobenvariablen
Sei nun
eine Bernoulli-verteilte
Zufallsstichprobe mit Bin.
Der Maximum-Likelihood-Schätzer
für den Parameter , den wir in Abschnitt 2.2.2
hergeleitet hatten, ist erwartungstreu.
Für den MQ-Fehler dieses Schätzers gilt somit, dass
(26)
Außerdem hatten wir in Abschnitt 2.2.3 den
Bayes-Schätzer
für konstruiert mit
Aus Theorem 2.1 ergibt sich für den MQ-Fehler dieses
Bayes-Schätzers, dass
Falls keine spezielle a-priori-Information über den Parameter
vorliegt, dann erscheint es sinnvoll, und so
wählen, dass der MQ-Fehler des Bayes-Schätzers
nicht von abhängt.
Für
gilt nämlich (vgl. Übungsaufgabe
6.1), dass
(27)
Aus (26) und (27) ergibt sich dann,
dass der MQ-Fehler des Bayes-Schätzers
bei
kleinem Stichprobenumfang
deutlich kleiner als der
MQ-Fehler von
ist (es sei denn, dass nahe bei
0 oder 1 liegt).
Umgekehrt ist der MQ-Fehler von
bei großem
Stichprobenumfang
deutlich kleiner als der
MQ-Fehler von
(es sei denn, dass nahe bei
1/2 liegt).