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Maßtheoretische Definition der bedingten Erwartung


Der folgende (maßtheoretische) Zugang zur bedingten Erwartung $ {\mathbb{E}\,}\bigl(\widetilde\theta(X_1,\ldots,X_n)
\mid\widehat\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ ist zwar weniger intuitiv, besitzt jedoch den Vorteil, dass er mit den allgemeinen Rechenregeln der Maß- und Integrationstheorie begründet werden kann.


Aus der Definitionsgleichung (56) und aus den allgemeinen Rechenregeln für das Lebesgue-Integral ergeben sich die folgenden Eigenschaften der bedingten Erwartung, die wir hier lediglich (ohne Beweis) erwähnen.

Theorem 2.8   Seien $ X,Y:\Omega\to\mathbb{R}$ beliebige Zufallsvariablen über $ (\Omega,\mathcal{F},P)$ mit

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}\vert X\vert<\infty\,,\qquad{\mathbb{E}\,}\vert Y\vert<\infty\,,\qquad{\mathbb{E}\,}\vert XY\vert<\infty\,,
$

und sei $ \mathcal{G}\subset\mathcal{F}$ eine beliebige Teil-$ \sigma$-Algebra von $ \mathcal{F}$. Dann gilt
1.
$ {\mathbb{E}\,}(X\mid\{\emptyset,\Omega\})={\mathbb{E}\,}X,\,{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{F})=X$,
2.
$ {\mathbb{E}\,}(aX+bY\mid\mathcal{G})=a\,{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})+b\,{\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})$ für beliebige $ a,b\in\mathbb{R}$,
3.
$ {\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})\le{\mathbb{E}\,}(Y\mid\mathcal{G})$, falls $ X\le Y$,
4.
$ {\mathbb{E}\,}(XY\mid\mathcal{G})=Y{\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})$, falls $ Y$ eine $ (\mathcal{G},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$-messbare Zufallsvariable ist,
5.
$ {\mathbb{E}\,}\bigl({\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}_2)\mid\mathcal{G}_1\bigr)={\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G}_1)$, falls $ \mathcal{G}_1$ und $ \mathcal{G}_2$ Teil-$ \sigma$-Algebren von $ \mathcal{F}$ sind mit $ \mathcal{G}_1\subset\mathcal{G}_2$,
6.
$ {\mathbb{E}\,}(X\mid\mathcal{G})={\mathbb{E}\,}X$, falls die $ \sigma$-Algebren $ \mathcal{G}$ und $ \sigma(X)=X^{-1}(\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ unabhängig sind, d.h., falls $ P(A\cap A^\prime)=P(A)P(A^\prime)$ für beliebige $ A\in\mathcal{G}$ und $ A^\prime\in\sigma(X)$.


Beachte
 


Beispiel
 

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Ursa Pantle 2004-07-14