Zufallsstichprobe

Der Vektor der vorliegenden Daten $(x_1,\ldots,x_n)$ kann im allgemeinen eine komplizierte Struktur aufweisen.

• Dabei muss der ,,Wert'' $x_i$ nicht unbedingt eine Zahl sein, sondern $x_i$ kann für jedes $i=1,\ldots,n$ selbst ein Vektor sein, der beispielsweise die Lage, Größe, Form und Orientierung eines geometrischen Objektes beschreiben kann.
• In dieser einführenden Vorlesung setzen wir jedoch meistens voraus, dass $x_i\in\mathbb{R}$ für jedes $i=1,\ldots,n$.
• Eine Ausnahme bilden die in der zweiten Hälfte des Semesters diskutierten Zwei-Stichproben-Probleme, bei denen der Fall $x_i\in\mathbb{R}^2$ für jedes $i=1,\ldots,n$ betrachtet wird.

Wir nehmen an, dass die Daten $x_1,\ldots,x_n$ die Realisierung eines stochastischen Modells sind.

• Und zwar sei $x_1,\ldots,x_n$ die Realisierung einer Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1,\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}$, die über einem (im allgemeinen nicht näher spezifizierten) Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$ definiert sind.
• D.h. insbesondere, dass für ein $\omega\in\Omega$
  $$X_i(\omega)=x_i\qquad\forall i\in\{1,\ldots,n\}\,.$$

• Außerdem setzen wir stets voraus, dass ${\mathbb{E}\,}(X_i^2)<\infty$ für $i=1,\ldots,n$.

Definition

 

1. Der Vektor $(x_1,\ldots,x_n)$ heißt (konkrete) Stichprobe.
2. Die Menge $B\subset\mathbb{R}^n$ aller (potentiell möglichen) Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ heißt Stichprobenraum, wobei wir zur Vereinfachung der Notation annehmen, dass $B=\mathbb{R}^n$.
3. Der Zufallsvektor $(X_1,\ldots,X_n)$ heißt Zufallsstichprobe.
4. Für jedes $i=1,\ldots,n$ heißt $x_i$ Stichprobenwert von $(x_1,\ldots,x_n)$. Analog hierzu nennt man $X_i$ Stichprobenvariable von $(X_1,\ldots,X_n)$.
5. Die Dimension $n$ von $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(X_1,\ldots,X_n)$ heißt Stichprobenumfang.

Beachte

 

• Die allgemeine Zielstellung der statistischen Datenanalyse, die in der Einleitung von Kapitel 1 diskutiert wurde, kann nun wie folgt präzisiert werden: Aus den vorliegenden Daten $x_1,\ldots,x_n$ sollen Schlussfolgerungen über Eigenschaften der (unbekannten) Verteilung der Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ gezogen werden.
• Weil wir voraussetzen, dass die Stichprobenvariablen $X_1,\ldots,X_n$ unabhängig und identisch verteilt sind, wird die Verteilung von $(X_1,\ldots,X_n)$ eindeutig durch die (Rand-) Verteilungsfunktion $F=F_{X_i}$ einer (einzelnen) Stichprobenvariablen $X_i$ bestimmt, vgl. Abschnitt WR-3.3.5 des Skriptes zur Vorlesung ,,Wahrscheinlichkeitsrechnung'' im WS 03/04.
• Aus den Daten $x_1,\ldots,x_n$ sollen deshalb Schlussfolgerungen über Eigenschaften der unbekannten Verteilungsfunktion $F$ gezogen werden.