Modellbeschreibung

In Verallgemeinerung der Situation, die bisher in dieser Vorlesung betrachtetet wurde, sollen nun gleichzeitig zwei Datensätze $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ stochastisch modelliert werden.

• Dabei können die Stichprobenumfänge $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ beliebige natürliche Zahlen sein, die nicht notwendig gleich sein müssen.
• Die (konkreten) Stichproben $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ fassen wir als Realisierungen von zwei Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auf.

Hierfür betrachten wir zwei (unendliche) Folgen $X_{11},X_{12},\ldots$ und $X_{21},X_{22},\ldots$ von Zufallsvariablen und nehmen an, dass

• die (zweidimensionalen) Zufallsvektoren $X_1,X_2,\ldots$ mit $X_i=(X_{1i},X_{2i})$ unabhängig und identisch verteilt sind,
• die (gemeinsame) Verteilung von $X_i$ zu einer parametrischen Familie von Verteilungen $\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ gehört, $\Theta\subset\mathbb{R}^m$,
• der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{F},P)$, über dem die Zufallsvektoren $X_1,X_2,\ldots$ definiert sind, der kanonische Wahrscheinlichkeitsraum dieser Zufallsvektoren ist.

Beachte

$\;$ Die Komponenten $X_{1i}$ und $X_{2i}$ von $X_i$ müssen jedoch im allgemeinen weder unabhängig noch identisch verteilt sein.

Im Rahmen dieser einführenden Vorlesung betrachten wir lediglich den Fall, dass

• ein (nichtvektorieller) Funktionswert $g(\theta)\in\mathbb{R}$ des Parametervektors $\theta=(\theta_1,\ldots,\theta_m)$ aus den beobachteten Daten $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ bzw. $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ geschätzt werden soll, wobei $g:\Theta\to\mathbb{R}$ eine vorgegebene Borel-messbare Funktion sei.
• Dabei diskutieren wir insbesondere die Frage, wie das in Abschnitt 3.1 eingeführte Modell des Konfidenzintervalls verallgemeinert werden kann, um zu Konfidenzintervallen ausgehend von (vektoriellen) Stichprobenvariablen $X_i=(X_{1i},X_{2i})$ zu gelangen.

Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir $n=\max\{n_1,n_2\}$ und betrachten

• zwei Stichprobenfunktionen $\underline\theta:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$ und $\overline\theta:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}$, so dass

  $$\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)\le\overline\theta(x_1,\ldots,x_n) \qquad\forall (x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{2n}\,,$$ (26)

  
  

• wobei die Funktionswerte $\underline\theta(x_1,\ldots,x_n)$ und $\overline\theta(x_1,\ldots,x_n)$ jedoch nur von den (beobachteten) Komponenten $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ des Vektors $(x_1,\ldots,x_n)$ abhängen mögen.

Definition

$\;$ Sei $\gamma\in(0,1)$ eine beliebige, jedoch fest vorgegebene Zahl. Dann heißt das zufällige Intervall $\bigl(\underline\theta(X_1,\ldots,X_n),\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)\bigr)$ Konfidenzintervall für $g(\theta)$ zum Niveau $\gamma$, falls

$$P_\theta (\underline\theta(X_1,\ldot... ...\overline\theta(X_1,\ldots,X_n)) \ge\gamma\,,\qquad\forall\,\theta\in\Theta\,.$$ (27)

Beachte

 

• Bisher hatten wir in Abschnitt 3 stets den Fall betrachtet, dass $g(\theta)=\theta_j$ für ein $j\in\{1,\ldots,m\}$.
• In den folgenden Beispielen hat $g(\theta)$ die Form $g(\theta)=\theta_j-\theta_k$ bzw. $g(\theta)=\theta_j/\theta_k$ für ein vorgegebenes Paar $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ von Indizes.