Test des Erwartungswertes

Wir konstruieren zunächst Tests für den Erwartungswert $\mu$. Dabei gibt es Ähnlichkeiten zur Konstruktion der Konfidenzintervalle für $\mu$, die in Abschnitt 3.2.1 diskutiert worden sind.

Test des Erwartungswertes $\mu$ (bei bekannter Varianz $\sigma^2$)

• Wir nehmen an, dass $X_i\sim$ N $(\mu,\sigma^2)$ für ein (unbekanntes) $\mu\in\mathbb{R}$ und ein (bekanntes) $\sigma^2>0$.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\mu_0\in\mathbb{R}$ soll die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ (gegen die Alternative $H_1:\mu\not=\mu_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R}\}$ mit
  $$\Theta_0=\{\mu_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R},\mu\not=\mu_0\}$$

• Wir betrachten die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\frac{\overline x_n-\mu_0}{\sigma}$$ (7)

  
  

• und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$, d.h. das $(1-\alpha/2)$-Quantil der Standardnormalverteilung.
• Weil $T(X_1,\ldots,X_n)\sim$ N$(0,1)$, gilt dann $P_{\mu_0}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$.
• Die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ wird abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

Für $\alpha=0.05$ und $\sigma=0.10$ wollen wir nun prüfen, ob

• die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ mit der bereits in Abschnitt 3.2.1 betrachteten (konkreten) Stichprobe
  $$(x_1,\ldots,x_{10})= (41.60,\, 41.48,\, 42.34,\, 41.95,\, 41.86,\, 42.18,\, 41.72,\, 42.26,\, 41.81,\, 42.04)$$
  vereinbar ist.
• In diesem Fall gilt $\overline x_{10}=41.924$, und aus (7) ergibt sich somit
  

  $$\bigl\vert T(x_1,\ldots,x_{10})\bigr\vert = \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{\overline x_{10}-\mu_0}{\sigma}\Bigr\vert$$

  $$= \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{41.924 - 42.0}{0.10}\Bigr\vert$$

  $$= 2.40 > z_{0.975}=1.96\,,$$

  
  
  wobei das Quantil $z_{0.975}=1.96$ aus Tabelle 1 entnommen wurde.
• Die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ wird also verworfen.

Beachte

 

1. Wir betrachten die Gütefunktion $\alpha_n:\mathbb{R}\to[0,1]$ dieses Tests.
   • Für beliebige $n\in\mathbb{N}$ und $\mu\in\mathbb{R}$ gilt
     

     $$\alpha_n(\mu) = P_\mu\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)$$

     $$= P_\mu\Bigl(\Bigl\vert\sqrt{n}\;\frac{\overline X_n-\mu}{\sigma}-\sqrt{n}\;\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\Bigr\vert>z_{1-\alpha/2}\Bigr)$$

     $$= 1- P_\mu\Bigl(-z_{1-\alpha/2}+\sqrt{n}\;\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\... ...ine X_n-\mu}{\sigma}\le z_{1-\alpha/2}+\sqrt{n}\;\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\Bigr)$$

     $$= 1-\Phi\Bigl(z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)+ \Phi\Bigl(-z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)$$

     $$= \Phi\Bigl(-z_{1-\alpha/2}-\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)+ \Phi\Bigl(-z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)\,.$$

     
     

   • Hieraus ergibt sich, dass die Ableitung $\alpha^{(1)}_n(\mu)$ für jedes $\mu>\mu_0$ positiv ist und dass $\alpha_n(\mu_0-x)=\alpha_n(\mu_0+x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$.
   • Somit gilt $\alpha_n(\mu)\ge\alpha$ für beliebige $n\in\mathbb{N}$ und $\mu\in\mathbb{R}$, und $\lim_{n\to\infty} \alpha_n(\mu)=1$ für jedes $\mu\not=\mu_0$.
   • Der Test ist also unverfälscht und konsistent.
2. Falls die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die (einseitige) Alternative $H_1:\mu>\mu_0$ getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R},\mu\ge\mu_0\}$ mit
   $$\Theta_0=\{\mu_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\mu:\,\mu\in\mathbb{R},\mu>\mu_0\}\,,$$
   dann könnte man zwar so wie bisher vorgehen und für die in (7) definierte Testgröße $T$
   • den kritischen Bereich $K=\{(x_1,\ldots,x_n):\,\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\}$ betrachten.
   • Ein besserer Test ergibt sich jedoch, wenn der folgende (einseitige) kritische Bereich
     $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>z_{1-\alpha}\}$$
     betrachtet wird, denn es gilt

     $$\alpha_n(\mu)\le\alpha_n^\prime(\mu)\,,\qquad\forall\,\mu\ge\mu_0\,,$$ (8)

     
     
     wobei $\alpha_n(\mu)$ bzw. $\alpha_n^\prime(\mu)$ die Macht des Tests mit dem kritischen Bereich $K$ bzw. $K^\prime$ bezeichnet, d.h.
     $$\alpha_n(\mu)= 1-\Phi\Bigl(z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigm... ...n}\Bigr)+ \Phi\Bigl(-z_{1-\alpha/2}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)$$
     bzw.
     $$\alpha_n^\prime(\mu)= 1-\Phi\Bigl(z_{1-\alpha}+\frac{\mu_0-\mu}{\sigma}\;\sqrt{n}\Bigr)\,.$$

   • Um die Gültigkeit der Ungleichung (8) einzusehen, betrachten wir die Funktion $g:[\mu_0,\infty)\to\mathbb{R}$ mit $g(\mu)= \alpha^\prime_n(\mu)-\alpha_n(\mu)$.
     • Offenbar gilt $g(\mu_0)=0$ und $\lim_{\mu\to\infty}g(\mu)=0$.
     • Außerdem gilt $g^{(1)}(\mu_0)>0$ sowie $\lim_{\mu\to\infty}g^{(1)}(\mu)=0$ gilt, wobei $g^{(1)}$ die Ableitung von $g$ bezeichnet.
     • Darüber hinaus kann man sich leicht davon überzeugen, dass $g^{(1)}(\mu)=0$ für genau ein $\mu>\mu_0$.
     • Hieraus folgt, dass $g(\mu)\ge 0$ für jedes $\mu\ge\mu_0$.
3. Falls die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die Alternative $H_1:\mu<\mu_0$ getestet werden soll, dann wird der kritische Bereich $K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<-z_{1-\alpha}\}$ betrachtet.

Test des Erwartungswertes $\mu$ (bei unbekannter Varianz $\sigma^2$)

• Im Unterschied zu dem vorhergehenden Fall nehmen wir nun an, dass $X_i\sim$N $(\mu,\sigma^2)$, wobei $\mu\in\mathbb{R}$ und $\sigma^2>0$ unbekannt seien.
• Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\mu_0\in\mathbb{R}$ soll erneut die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ (gegen die zweiseitige Alternative $H_1:\mu\not=\mu_0$) getestet werden.
• Dies bedeutet, dass jetzt $\Theta=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\in\mathbb{R},\sigma^2>0\}$ mit
  $$\Theta_0=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu=\mu_0,\sigma^2>0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{(\mu,\sigma^2):\,\mu\not=\mu_0,\sigma^2>0\}\,,$$
  d.h., sowohl $H_0$ als auch $H_1$ sind jetzt zusammengesetzte Hypothesen.
• Damit hängt auch zusammen, dass die in (7) betrachtete Testgröße $T$ nun nicht mehr geeignet ist, weil in (7) die unbekannte Größe $\sigma$ vorkommt.
• Wir betrachten vielmehr die Testgröße $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

  $$T(x_1,\ldots,x_n)=\sqrt{n}\;\frac{\overline x_n-\mu_0}{s_n}$$ (9)

  
  

• und den Schwellenwert $c=t_{n-1,1-\alpha/2}$, d.h. das $(1-\alpha/2)$-Quantil der t-Verteilung mit $n-1$ Freiheitsgraden.
• Aus Theorem 1.13 ergibt sich dann, dass $P_{(\mu_0,\sigma^2)}\bigl(\vert T(X_1,\ldots,X_n)\vert>t_{n-1,1-\alpha/2}\bigr)=\alpha$ für jedes $\sigma^2>0$ gilt.
• Die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ wird abgelehnt, falls $\vert T(x_1,\ldots,x_n)\vert>t_{n-1,1-\alpha/2}$.

Für $\alpha=0.05$ wollen wir nun prüfen, ob

• die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ mit der schon vorher betrachteten (konkreten) Stichprobe
  $$(x_1,\ldots,x_{10})= (41.60,\, 41.48,\, 42.34,\, 41.95,\, 41.86,\, 42.18,\, 41.72,\, 42.26,\, 41.81,\, 42.04)$$
  vereinbar ist, wobei jetzt jedoch angenommen wird, dass die Varianz $\sigma^2$ unbekannt ist.
• Es gilt $\overline x_{10}=41.924$ und $s^2_{10}=0.0807$ bzw. $s_{10}=0.284$.
• Aus (9) ergibt sich somit, dass
  

  $$\bigl\vert T(x_1,\ldots,x_{10})\bigr\vert = \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{\overline x_{10}-\mu_0}{s_{10}}\Bigr\vert$$

  $$= \Bigl\vert\sqrt{10}\;\frac{41.924 - 42.0}{0.284}\Bigr\vert$$

  $$= 0.846 < t_{9,0.975}=2.262\,,$$

  
  
  wobei das Quantil $t_{9,0.975}=2.262$ aus Tabelle 3 entnommen wurde.
• Unter den jetzt gemachten Modellannahmen wird also die Hypothese $H_0:\mu=42.0$ nicht verworfen.
• Der Hauptgrund hierfür ist, dass die Stichprobenvarianz $s^2_{10}=0.0807$ deutlich größer ist als der bei dem vorhergehenden Beispiel betrachtete Wert $\sigma^2=0.01$ der (z.B. aufgrund von Vorinformationen) als bekannt angenommenen Varianz $\sigma^2$.
• Mit anderen Worten: Wegen der relativ großen Stichprobenvarianz $s^2_{10}$ wird jetzt die Abweichung $0.076=\vert 41.924 - 42.0\vert$ des Stichprobenmittels $\overline x_{10}=41.924$ von dem hypothetischen Erwartungswert $\mu_0=42.0$ toleriert, während sie bei dem vorhergehenden Beispiel (vor allem) wegen der kleineren Varianz $\sigma^2=0.01$ nicht toleriert wurde.

Beachte

 

1. Falls die Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die Alternative $H_1:\mu>\mu_0$ getestet werden soll, dann wird (ähnlich wie in dem vorhergehenden Beispiel) für die in (9) definierte Testgröße $T$ der kritische Bereich $K^\prime$ betrachtet mit
   $$K^\prime=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)>t_{n-1,1-\alpha}\}\,.$$

2. Analog wird für den Test der Hypothese $H_0: \mu=\mu_0$ gegen die Alternative $H_1:\mu<\mu_0$ der kritische Bereich $K^{\prime\prime}$ betrachtet mit
   $$K^{\prime\prime}=\{(x_1,\ldots,x_n):\,T(x_1,\ldots,x_n)<-t_{n-1,1-\alpha}\}\,.$$