Zwei-Stichproben-Tests

So wie in Abschnitt 3.3 nehmen wir nun an, dass die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ (zweidimensionale) normalverteilte Zufallsvektoren sind mit $X_i=(X_{1i},X_{2i})$. Die Realisierungen von $X_i$ bezeichnen wir mit $x_i=(x_{1i},x_{2i})$ für $i=1,2,\ldots$. Dabei setzen wir zunächst voraus, dass die Komponenten $X_{1i}$ und $X_{2i}$ von $X_i$ unabhängige (jedoch im allgemeinen nicht identisch verteilte) Zufallsvariablen sind.

Für zwei beliebige, jedoch vorgegebene Zahlen $n_1,n_2\in\mathbb{N}$ betrachten wir also zwei unabhängige Zufallsstichproben $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ und $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$, wobei wir

• die beobachteten Daten $(x_{11},\ldots,x_{1n_1})$ und $(x_{21},\ldots,x_{2n_2})$ als Realisierungen von $(X_{11},\ldots,X_{1n_1})$ bzw. $(X_{21},\ldots,X_{2n_2})$ auffassen und
• zur Vereinfachung der Schreibweise $n=\max\{n_1,n_2\}$ setzen.

Wir diskutieren in diesem Abschnitt nur Beispiele von zweiseitigen Tests. Wie in Abschnitt 4.2 gezeigt wurde, lassen sich dann leicht die entsprechenden einseitigen Tests konstruieren.