Ein-Stichproben-Probleme

Wir kehren zunächst zur Betrachtung des Ein-Stichproben-Falles zurück. D.h., wir nehmen an, dass

• ein Datensatz $(x_1,\ldots,x_n)$ beobachtet wird, den wir als Realisierung einer Zufallsstichprobe $(X_1,\ldots,X_n)$ auffassen.
• Dabei setzen wir jetzt nicht mehr voraus, dass die Stichprobenvariablen $X_1,X_2,\ldots$ normalverteilt sind, sondern lediglich, dass
• die Verteilung von $X_i$ zu einer (beliebigen) parametrischen Familie $\Delta=\{P_\theta,\,\theta\in\Theta\}$ von Verteilungen gehört.

So wie bisher in Abschnitt 4 betrachten wir

• eine Zerlegung $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$ des Parameterraumes in zwei (nichtleere) disjunkte Teilmengen $\Theta_0,\Theta_1$ und
• die zugehörigen Hypothesen $H_0:\,\theta\in\Theta_0$ bzw. $H_1:\,\theta\in\Theta_1$.
• Außerdem betrachten wir für jedes $n=1,2,\ldots$ eine Borel-Menge $K_n\subset\mathbb{R}^n$ und
• eine Stichprobenfunktion $\varphi_n:\mathbb{R}^n\to\{0,1\}$ mit
  $$\varphi_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} 1\,, &\mbox{f... ...,}\\ 0\,, &\mbox{falls $(x_1,\ldots,x_n)\not\in K_n$.} \end{array}\right.$$

Definition

$\;$ Sei $\alpha\in(0,1)$ ein beliebige (vorgegebene) Zahl. Dann sagt man, dass durch die Folge von Stichprobenfunktionen $\{\varphi_n\}$ ein asymptotischer Parametertest zum Niveau $\alpha$ gegeben ist, falls

$$\lim\limits _{n\to\infty} P_\theta(\varphi_n(X_1,\ldots,X_n)=1)\le\alpha$$

für jedes $\theta\in\Theta_0$ gilt.

Ähnlich wie bei der Konstruktion asymptotischer Konfidenzintervalle in Abschnitt 3.4 vorgehend, konstruieren wir nun asymptotische Tests bei Poisson- bzw. Bernoulli-Verteilung.

So wie in Abschnitt 4.3 diskutieren wir lediglich Beispiele von (symmetrischen) zweiseitigen asymptotischen Tests. Auf die gleiche Weise lassen sich dann entsprechende asymmetrische bzw. einseitige asymptotische Tests konstruieren.

1. $\;$ Test des Erwartungswertes $\lambda$ bei Poisson-Verteilung
   • Wir nehmen an, dass $X_i\sim$ Poi$(\lambda)$ für ein (unbekanntes) $\lambda>0$.
   • Für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $\lambda_0>0$ soll die Hypothese $H_0: \lambda=\lambda_0$ (gegen die Alternative $H_1:\lambda\not=\lambda_0$) getestet werden, d.h. $\Theta=\{\lambda:\,\lambda>0\}$ mit
     $$\Theta_0=\{\lambda_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{\lambda:\,\lambda\not=\lambda_0\}$$

   • Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

     $$T_n(x_1,\ldots,x_n)= \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sqr... ...erline x_n>0$,}\\ 0\,, & \mbox{falls $\overline x_n=0$,} \end{array}\right.$$ (18)

     
     
     und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
   • Dann gilt (vgl. Beispiel 1 des Abschnittes 3.4.1)
     $$\lim\limits _{n\to\infty} P_{\lambda_0}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha\,.$$

   • Durch die in (18) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test des Erwartungswertes $\lambda$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
   • Dabei wird bei der praktischen Anwendung dieses Tests (bei großem Stichprobenumfang $n$) die Hypothese $H_0: \lambda=\lambda_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.

   
   

2. $\;$ Test der ,,Erfolgswahrscheinlichkeit'' $p$ bei Bernoulli-Verteilung
   • Es gelte nun $X_i\sim$ Bin$(1,p)$ für ein (unbekanntes) $p\in(0,1)$, wobei
   • für einen vorgegebenen (hypothetischen) Zahlenwert $p_0\in(0,1)$ die Hypothese $H_0: p=p_0$ (gegen die Alternative $H_1:p\not=p_0$) getestet werden soll, d.h. $\Theta=\{p:\,p\in(0,1)\}$ mit
     $$\Theta_0=\{p_0\}$$   bzw.$$\qquad \Theta_1=\{p:\,p\not=p_0\}$$

   • Wir betrachten die Testgröße $T_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ mit

     $$T_n(x_1,\ldots,x_n)=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \sqrt... ... \mbox{falls $0<\overline x_n<1$,}\\ 0\,, & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (19)

     
     
     und den Schwellenwert $c=z_{1-\alpha/2}$.
   • Dann gilt (vgl. Beispiel 2 des Abschnittes 3.4.1)
     $$\lim\limits _{n\to\infty} P_{p_0}\bigl(\vert T_n(X_1,\ldots,X_n)\vert>z_{1-\alpha/2}\bigr)=\alpha\,.$$

   • Durch die in (19) eingeführte Folge $\{T_n\}$ von Testfunktionen ist also ein asymptotischer Test des Parameters $p$ zum Niveau $\alpha$ gegeben.
   • Bei großem $n$ wird die Hypothese $H_0: p=p_0$ abgelehnt, falls $\vert T_n(x_1,\ldots,x_n)\vert>z_{1-\alpha/2}$.