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Gammaverteilung und $ \chi ^2$-Verteilung


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Definition
Man sagt, dass die Zufallsvariable $ Y:\Omega\to\mathbb{R}$ gammaverteilt ist mit den Parametern $ b>0$ und $ p>0$, wenn $ Y$ absolutstetig ist und wenn die Dichte $ f_Y:\mathbb{R}\to[0,\infty)$ von $ Y$ gegeben ist durch

$\displaystyle f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}
 \displaystyle\frac{b^p}{\Gamma(p...
...ox{falls $y> 0$,}\\  [3\jot]
 0\,, & \mbox{falls $y\le 0$.}
 \end{array}\right.$ (25)

Schreibweise: $ Y\sim \Gamma(b,p)$.

Theorem 1.5   Die Zufallsvariable $ Y:\Omega\to\mathbb{R}$ sei gammaverteilt mit den Parametern $ b>0$ und $ p>0$. Für die momenterzeugende Funktion $ \psi_Y:(-\infty,b)\to\mathbb{R}$ mit $ \psi_Y(t)={\mathbb{E}\,}e^{tY}$ bzw. für die charakteristische Funktion $ \varphi_Y:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ mit $ \varphi_Y(t)={\mathbb{E}\,}\, e^{{\rm i}\,tY}$ gilt dann

$\displaystyle \psi_Y(t)=\frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{
 t}{b}\Bigr)^p}\;,\quad\forall\,
 t\in(-\infty,b)$   bzw.$\displaystyle \qquad
 \varphi_Y(t)=\frac{1}{\Bigl(1-\displaystyle\frac{{\rm i}\,
 t}{b}\Bigr)^p}\;,\quad\forall\, t\in\mathbb{R}\,.$ (26)

Außerdem gilt für jedes $ k\in\mathbb{N}$

$\displaystyle {\mathbb{E}\,}(Y^k)=\frac{p(p+1)\ldots(p+k-1)}{b^k}\;.$ (27)

Beweis
 


Aus Theorem 1.5 ergibt sich insbesondere, dass die Familie der Gammaverteilungen die folgende Eigenschaft der Faltungsstabilität besitzt.

Korollar 1.2   Seien $ Y_1,Y_2:\Omega\to\mathbb{R}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $ Y_1\sim \Gamma(b,p_1)$ und $ Y_2\sim \Gamma(b,p_2)$, wobei $ b,p_1,p_2>0$. Dann gilt $ Y_1+Y_2\sim \Gamma(b,p_1+p_2)$.

Beweis
 


Beachte
 


Definition
 


Theorem 1.6   Sei $ r\ge 1$ eine beliebige natürliche Zahl, und sei $ U_r$ eine $ \chi ^2$-verteilte Zufallsvariable mit $ r$ Freiheitsgraden. Dann ist die Dichte von $ U_r$ gegeben durch

$\displaystyle f_{U_r}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{x^{(r-2)/2...
...ma(r/2)}\,, & \mbox{falls $x>0$,}\\  
 0\,, & \mbox{sonst,}
 \end{array}\right.$ (28)

wobei $ \Gamma(1)=1$, $ \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ und $ \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p)$.


Beweis
 


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Ursa Pantle 2004-07-14