Kumulierte Häufigkeiten; empirische Verteilungsfunktion

• Anstelle der absoluten Häufigkeiten $h_j$ bzw. der relativen Häufigkeiten $f_j=h_j/n$ werden manchmal die kumulierten Häufigkeiten
  $$H_j=\sum\limits_{i=1}^j h_i$$   bzw.$$\qquad F_j=\sum\limits_{i=1}^j f_i\,,$$
  derjenigen Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$ betrachtet, die in die ersten $j$ Intervalle $[a_1,b_1),\ldots,[a_j,b_j)$ fallen.
• Beachte 
  • Die kumlierten Häufigkeiten $H_1,H_2,\ldots,H_k$ bzw. $F_1,F_2,\ldots,F_k$ bilden monoton wachsende Zahlenfolgen.
  • Für den obenbetrachteten Datensatz der Anzahlen kariöser Zähne ergibt sich das folgende Histogramm (der kumulierten Häufigkeiten):
    
• Meistens werden die kumlierten Häufigkeiten $H_1,H_2,\ldots,H_k$ bzw. $F_1,F_2,\ldots,F_k$ als monoton wachsende Treppenfunktionen $H:\mathbb{R}\to[0,n]$ bzw. $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ dargestellt.
• Die Darstellung der relativen kumulierten Häufigkeiten $F_1,F_2,\ldots,F_k$ durch eine Treppenfunktion führt dann zu der sogenannten empirischen Verteilungsfunktion $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ mit
  $$F(x)=F_j\;\;\Bigl(=f_1+\ldots+f_j\Bigr)\,,$$   $$\mbox{falls $a_j\le x< b_j$.}$$$$$$

• Beachte 
  • Der Funktionswert $F(x)$ der empirischen Verteilungsfunktion $F:\mathbb{R}\to[0,1]$ an der Stelle $x\in[a_j,b_j)$ ist der Anteil derjenigen Stichprobenwerte $x_1,\ldots,x_n$, die in die ersten $j$ Klassen $[a_1,b_1),\ldots,[a_j,b_j)$ fallen.
  • Das heißt insbesondere, dass die empirische Verteilungsfunktion eine monoton wachsende Funktion ist.
  • Für jedes $j=1,\ldots,k-1$ springt die empirische Verteilungsfunktion $F$ an der Intervallgrenze $b_j\, (=a_{j+1})$ um die relative Häufigkeit $f_{j+1}$ nach oben.
  • Dabei ist an den Sprungstellen der obere Wert der zugehörige Funktionswert, d.h., die empirische Verteilungsfunktion ist eine rechtsseitig stetige Funktion.
  • Falls die Intervall-Klassen $[a_1,b_1),\ldots,[a_k,b_k)$ so gewählt sind, dass $b_1\le\min\{x_1,\ldots,x_n\}$ und $a_k>\max\{x_1,\ldots,x_n\}$, dann gilt außerdem $F(x)=0$ für jedes $x<b_1$ bzw. $F(x)=1$ für jedes $x\ge a_k$.