Zusammenhangsmaße

1. Bedingte und relative Chancen
   • Wir betrachten zunächst den Spezialfall $k_1=k_2=2$, d.h., die Merkmale/Kenngrößen/Variablen $X$ und $Y$ besitzen jeweils nur zwei verschiedene Ausprägungen/Werte.
   • Die entsprechende $2\times 2$-Kontingenztafel hat somit die Form

     	$d_1$	$d_{2}$
     $c_1$	$h_{11}$	$h_{12}$	$h_{1\,\cdot}$
     $c_2$	$h_{21}$	$h_{22}$	$h_{2\,\cdot}$
     	$h_{\cdot\,1}$	$h_{\cdot\,2}$	$n$

   • Für jedes $i=1,2$ heißt der Quotient der bedingten relativen Häufigkeiten

     $$\gamma(d_1,d_2\mid c_i)=\frac{f_Y(1\mid i)}{f_Y(2\mid i)}=\frac{h_{i1}/h_{i\,\cdot}} {h_{i2}/h_{i\,\cdot}}=\frac{h_{i1}}{h_{i2}}$$ (15)

     
     
     die bedingte Chance für $X=c_i$, wobei $h_{i2}>0$ vorausgesetzt wird.
   • Hieraus ergibt sich ein einfaches Zusammenhangsmaß zwischen den Chancen der ersten bzw. zweiten Zeile der $2\times 2$-Kontingenztafel, das relative Chance genannt wird und gegeben ist durch den Quotienten

     $$\gamma(d_1,d_2\mid c_1,c_2)=\frac{\gamma(d_1,d_2\mid c_1)}{\gamma(d_1,d_2\mid c_2)}=\frac{h_{11}h_{22}}{h_{12}h_{21}}\;,$$ (16)

     
     
     wobei $h_{12},h_{21}>0$ vorausgesetzt wird.
   • Beispiel 
     • Für das in Abschnitt 2.3.1 diskutierte Beispiel betrachten wir jetzt nur die Ausprägungen ,,fachspezifische Ausbildung'' (F) bzw. ,,Hochschulabschluss'' (H) für das Merkmal ,,Ausbildungsniveau'' sowie die Ausprägungen ,,Kurzzeitarbeitslosigkeit'' ($\le$ 6 Monate) bzw. ,,mittel- und langfristige Arbeitslosigkeit'' ($\ge$ 7 Monate) für das Merkmal ,,Dauer der Arbeitslosigkeit''.
     • Dann ergibt sich die folgende $2\times 2$-Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten:

       	$d_1$	$d_{2}$
       $c_1$	$40$	$16$
       $c_2$	$28$	$7$

     • Die ,,bedingte Chance'' $\gamma(d_1,d_2\mid c_1)$ von Personen mit fachspezifischer Ausbildung, kurzfristig arbeitslos zu sein (gegenüber einer mittel- bzw. langfristigen Arbeitslosigkeit), ist also gegeben durch
       $$\gamma(d_1,d_2\mid c_1)=\frac{40}{16}=2.5\,.$$

     • Für Personen mit Hochschulabschluss ergibt sich dagegen der Wert
       $$\gamma(d_1,d_2\mid c_2)=\frac{28}{7}=4.0\,.$$

     • Für die ,,relative Chance'' ergibt sich
       $$\gamma(d_1,d_2\mid c_1,c_2)=\frac{280}{448}= \frac{70}{112}= 0.625\,,$$
       d.h., für Personen mit Hochschulabschluss stehen somit die ,,Chancen'' deutlich besser.

     
     

   • Beachte 
     • Die Begriffe der bedingten bzw. relativen Chance lassen sich völlig analog auch für den Fall definieren, dass Merkmale mit mehr als 2 Ausprägungen betrachtet werden.
     • Die relative Chance zwischen $X=c_i$ und $X=c_{i^\prime}$ bezüglich der bedingten Chancen von $Y=d_j$ und $Y=d_{j^\prime}$ ist dann gegeben durch
       $$\gamma(d_j,d_{j^\prime}\mid c_i,c_{i^\prime})=\frac{\gamma(d_j,d... ...e})}=\frac{h_{ij}\,h_{i^\prime j^\prime}}{h_{ij^\prime}\,h_{i^\prime j }}\;.$$

   
   

2. $\chi^2$-Koeffizient
   • Wir definieren nun den $\chi^2$-Koeffizienten der beiden Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ und $(y_1,\ldots,y_n)$,
     • der eine weitere Maßzahl zur Beschreibung des (eventuell vorhandenen) Zusammenhanges zwischen den Werten der Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ und $(y_1,\ldots,y_n)$ der beiden Markmale $X$ und $Y$ ist,
     • wobei wir das Nichtvorhandensein eines solchen Zusammenhanges mit Hilfe der bedingten relativen Häufigkeiten $f_Y(j\mid i)$ beschreiben, die in (14) eingeführt worden sind.
   • Man erwartet, dass die bedingten relativen Häufigkeiten $\{f_Y(j\mid i),\, j=1,\ldots,k_2\}$ in diesem Fall
     • nicht von $i$ abhängen,
     • was gleichbedeutend damit ist, dass
       $$f_Y(j\mid i)=\frac{h_{\cdot\, j}}{n}\qquad \forall\, i=1,\ldots,k_1,\;j=1,\ldots,k_2\,.$$

   • Mit anderen Worten: Falls die Ausprägungen/Werte der Merkmale/Kenngrößen/Variablen $X$ und $Y$ keinen Zusammmenhang aufweisen (d.h. unabhängig sind), dann sollte die (in diesem Fall) erwartete Häufigkeit $\widetilde h_{ij}=\widetilde h(c_i,d_j)$, mit der die Kombination $(c_i,d_j)$ der Ausprägungen $c_i$ und $d_j$ auftritt, für jedes $i=1,\ldots,k_1$ unf für jedes $j=1,\ldots,k_2$
     • der folgenden Gleichung genügen:
       $$\frac{\widetilde h_{ij}}{h_{i\,\cdot}}=\frac{h_{\cdot\, j}}{n}\;,$$

     • d.h., gegeben sein durch den Produkt-Ansatz
       $$\widetilde h_{ij} =\frac{h_{i\,\cdot}\,h_{\cdot\, j}}{n}\;.$$

   • Beachte 
     • Falls die Ausprägungen/Werte der Merkmale/Kenngrößen/Variablen $X$ und $Y$ keinen Zusammenhang aufweisen, dann sollten sich die (tatsächlich beobachteten) Häufigkeiten $h_{ij}$ und die (zu erwartenden) Häufigkeiten $\widetilde h_{ij}$ nicht zu sehr voneinander unterscheiden.
     • Als Zusammenhangsmaß betrachtet man deshalb den $\chi^2$- Koeffizienten $T$, der eine sogenannte Testgröße ist und gegeben ist durch

       $$T=\sum\limits_{i=1}^{k_1}\sum\limits_{j=1}^{k_2} \frac{\Bigl(h_{... ...cdot\, j}}{n}\Bigr)^2}{\displaystyle\frac{h_{i\,\cdot}\,h_{\cdot\, j}}{n}}\;,$$ (17)

       
       
       wobei vorausgesetzt wird, dass sämtliche Randhäufigkeiten $h_{1\,\cdot},\ldots,h_{k_1\,\cdot}$ sowie $h_{\cdot\, 1},\ldots,h_{\cdot\, k_2}$ positiv sind, und die Division durch $\widetilde h_{ij}=(h_{i\,\cdot}\,h_{\cdot\, j})/n$ lediglich der Normierung dient.
     • Im Spezialfall einer $2\times 2$-Kontingenztafel

       
       

       	$d_1$	$d_{2}$
       $c_1$	$h_{11}$	$h_{12}$	$h_{11}+h_{12}$
       $c_2$	$h_{21}$	$h_{22}$	$h_{21}+h_{22}$
       	$h_{11}+h_{21}$	$h_{12}+h_{22}$	$n$

       
       lässt sich der in (17) definierte $\chi^2$-Koeffizient $T$ leicht berechnen, denn in diesem Fall gilt

       $$T=\frac{n\,(h_{11}\,h_{22}- h_{12}\,h_{21})^2}{(h_{11}+h_{12})(h_{11}+h_{21})(h_{12}+h_{22})(h_{21}+h_{22})}\;,$$ (18)

       
       
       wobei vorausgesetzt wird, dass die Randhäufigkeiten $h_{11}+h_{12}$, $h_{11}+h_{21}$, $h_{12}+h_{22}$ und $h_{21}+h_{22}$ positiv sind.
   • Für den in (17) definierten $\chi^2$-Koeffizienten gilt stets $T\ge 0$, wobei
     • $T$ groß ist, wenn ein Zusammenhang zwischen $X$ und $Y$ besteht,
     • $T$ klein ist, wenn $X$ und $Y$ voneinander unabhängig sind.
   • Um genauer sagen zu können, wann $T$ als klein bzw. groß anzusehen ist, sind tieferliegende mathematische Modelle der beurteilenden Statistik erforderlich, insbesondere sogenannte Signifikanztests zum Überprüfen von Modellannahmen; vgl. beispielsweise das Kapitel 3 des jetzigen Vorlesungsskriptes.

   
   

3. Kontingenzkoeffizient
   • Der in (17) definierte $\chi^2$-Koeffizient $T$ hat den Nachteil, dass der Wertebereich von $T$ vom Umfang $n$ der Stichproben $(x_1,\ldots,x_n)$ bzw. $(y_1,\ldots,y_n)$ abhängt.
   • Dieser Nachteil wird eliminiert, wenn anstelle des $\chi^2$-Koeffizienten $T$ der Kontingenzkoeffizient $T^\prime$ betrachtet wird,
     • der gegeben ist durch

       $$T^\prime=\sqrt{\frac{T}{n+T}}\;,$$ (19)

       
       

       
       

     • wobei $T^\prime$ nur Werte zwischen 0 und $T^\prime_{\max}=\sqrt{(k_{\min}-1)/k_{\min}}$ annehmen kann; $k_{\min}=\min\{k_1,k_2\}$.
4. Korrigierter Kontingenzkoeffizient
   • Ein gewisser Nachteil des Kontingenzkoeffizienten $T^\prime$ besteht noch darin, dass der Wertebereich der Testgröße $T^\prime$ von den Anzahlen $k_1,k_2$ der Ausprägungen von $X$ bzw. $Y$ abhängt.
   • Durch einen weiteren Normierungsschritt wird deshalb der sogenannte korrigierte Kontingenzkoeffizient $T^*$ eingeführt, der gegeben ist durch
     $$T^*=\frac{T^\prime}{T^\prime_{\max}}$$
     und der nur Werte im Einheitsintervall $[0,1]$ annehmen kann.
   • Beispiel 
     • Für das in Abschnitt 2.3.1 eingeführte Beispiel betrachten wir nun die Ausprägungen ,,keine Ausbildung'' bzw. ,,Lehre'' für das Merkmal ,,Ausbildungsniveau'' sowie die Ausprägungen ,,mittelfristige Arbeitslosigkeit'' (7-12 Monate) bzw. ,,langfristige Arbeitslosigkeit ($>$ 12 Monate) für das Merkmal ,,Dauer der Arbeitslosigkeit''.
     • Dann ergibt sich die folgende $2\times 2$-Kontingenztafel der absoluten Häufigkeiten:

       $$\begin{tabular}{c\vert cc\vert c} & $d_1$\ & $d_{2}$\ \\ \hline... ...& 18 & 37 \\ $c_2$\ & 43 & 20 & 63\\ \hline & 62 & 38 & 100 \end{tabular}$$ (20)

       
       

     • Hieraus und aus (18) ergibt sich, dass

       $$T=\frac{100\,(19\cdot 20-18\cdot 43)^2}{37\cdot 63\cdot 62\cdot 38}=2.826$$ (21)

       
       
       sowie $T^\prime=0.165$ bzw. $T^*=0.234$.